como calcular uma integral duplaa?

Contextualização:

Integrais duplas são integrais de funções de duas variáveis, como por exemplo:

Para as funções de uma variável, a integral pode ser representada pela área entre a função e o eixo coordenado (x).

No caso da integral dupla (podemos chamar de nesse caso de Integral Dupla de f em R), ela é exatamente o volume da região que fica embaixo de f, e podemos escrever assim:

 ou

 (sendo A a área de R)

Essa é a interpretação geométrica da integral dupla.

Resolução:

Como exemplo, vamos calcular a integral dupla abaixo:

, sendo R a região do plano xy tal que 

Passo 1: Segundo o Teorema de Fubini, podemos separar essa integral dupla em duas integrais simples, dessa forma:

Note que o intervalo da integral de fora se refere a dy, enquanto o de dentro, a dx. 

Passo 2: Agora devemos resolver a integral de dentro. Como vamos integrar em x, vamos considerar a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito de derivadas parciais).

Passo 3: Agora sim integraremos em y, substituindo o valor que encontramos na primeira integral:

Sendo assim, temos:

Conclusão:

Portanto, para calcular uma integral dupla, precisamos:

Separar essa integral dupla em duas integrais simples (Teorema de Fubini).

Devemos primeiro resolver a integral de dentro. Como no exemplo acima integramos em x, consideramos a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito de derivadas parciais).

Em seguida integramos em y, substituindo o valor que foi encontrado na primeira integral.

Contextualização:

Integrais duplas são integrais de funções de duas variáveis, como por exemplo:

Para as funções de uma variável, a integral pode ser representada pela área entre a função e o eixo coordenado (x).

No caso da integral dupla (podemos chamar de nesse caso de Integral Dupla de f em R), ela é exatamente o volume da região que fica embaixo de f, e podemos escrever assim:

ou

(sendo A a área de R)

Essa é a interpretação geométrica da integral dupla.

Resolução:

Como exemplo, vamos calcular a integral dupla abaixo:

, sendo R a região do plano xy tal que

Passo 1: Segundo o Teorema de Fubini, podemos separar essa integral dupla em duas integrais simples, dessa forma:

Note que o intervalo da integral de fora se refere a dy, enquanto o de dentro, a dx.

Passo 2: Agora devemos resolver a integral de dentro. Como vamos integrar em x, vamos considerar a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito de derivadas parciais).

Passo 3: Agora sim integraremos em y, substituindo o valor que encontramos na primeira integral:

Sendo assim, temos:

Conclusão:

Portanto, para calcular uma integral dupla, precisamos:

Separar essa integral dupla em duas integrais simples (Teorema de Fubini).

Devemos primeiro resolver a integral de dentro. Como no exemplo acima integramos em x, consideramos a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito de derivadas parciais).

Em seguida integramos em y, substituindo o valor que foi encontrado na primeira integral.

Contextualização:

Integrais duplas são integrais de funções de duas variáveis, como por exemplo:

Para as funções de uma variável, a integral pode ser representada pela área entre a função e o eixo coordenado (x).

No caso da integral dupla (podemos chamar de nesse caso de Integral Dupla de f em R), ela é exatamente o volume da região que fica embaixo de f, e podemos escrever assim:

ou

(sendo A a área de R)

Essa é a interpretação geométrica da integral dupla.

Resolução:

Como exemplo, vamos calcular a integral dupla abaixo:

, sendo R a região do plano xy tal que

Passo 1: Segundo o Teorema de Fubini, podemos separar essa integral dupla em duas integrais simples, dessa forma:

Note que o intervalo da integral de fora se refere a dy, enquanto o de dentro, a dx.

Passo 2: Agora devemos resolver a integral de dentro. Como vamos integrar em x, vamos considerar a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito de derivadas parciais).

Passo 3: Agora sim integraremos em y, substituindo o valor que encontramos na primeira integral:

Sendo assim, temos:

Conclusão:

Portanto, para calcular uma integral dupla, precisamos:

Separar essa integral dupla em duas integrais simples (Teorema de Fubini).

Devemos primeiro resolver a integral de dentro. Como no exemplo acima integramos em x, consideramos a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito de derivadas parciais).

Em seguida integramos em y, substituindo o valor que foi encontrado na primeira integral.