O MP pode ser sujeito passivo de uma relação jurídica processual?

Não vejo porque não.

Exemplo:

Um membro do ministério público exercendo suas funções causa dano a alguém.

Neste caso o Ministério Público como órgão direto da adminstração possui responsabilidade objetiva de indenizar tendo portanto o Ministério Público legitimidade no polo passivo da ação podendo ser demandado juntamente com a Fazenda do Estado ou da União se for o caso.

Sim, justamente por que o processo é visto com um feixe de relações jurídicas. Um processo não é apenas uma relação entre autor e réu e sim um feixe de relações jurídicas.

É possível imaginar o Ministério Público como réu de um processo – assumindo o polo passivo da principal relação jurídica processual, portanto. O exemplo mais corriqueiro, embora não seja o único, é o do Ministério Público como réu de uma ação coletiva passiva derivada – uma ação coletiva passiva que nasce de um processo coletivo ativo (ação rescisória de sentença proferida em ação civil pública promovida pelo Ministério Público, v. g.). Neste caso, o Ministério Público atua no processo como legitimado extraordinário.

É possível, ainda, cogitar uma situação em que o Ministério Público seja réu, agindo na qualidade de legitimado ordinário. Pense na hipótese de que o Ministério Público, durante a obra de edificação de sua sede, possa vir a destruir patrimônio arqueológico ou arquitetônico da comunidade. O Ministério Público poderá ser réu de uma ação coletiva, muito possivelmente proposta por outro Ministério Público. Neste caso, atuará no processo como legitimado ordinário.