Determine a solução Geral

Olá!

Esta EDO é definida como uma EDO de segunda ordem linear não-homogênea com coeficientes constantes.

A solução geral para uma equação deste tipo, \(a\left(x\right)y''+b\left(x\right)y'+c\left(x\right)y=g\left(x\right)\) pode ser escrita da seguinte forma:

\(y=y_h+y_p\)

Onde os subíndices h e p representam a parte homogênea e parte particular, respectivamente.

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Vamos encontrar a parte homogênea. Para isto, devemos resolver \(y''\:-2y'\:+y=0\). A solução desta equação possui a forma do tipo \(e^{γx}\). Vamos substituir esta sollução na EDO:

\(\left(\left(e^{γx}\right)\right)''\:-2\left(\left(e^{γx}\right)\right)'\:+e^{γx}=0\)

Observe que:

\(\left(\left(e^{γx}\right)\right)''\:=γ^2e^{γx}\)

\(\left(\left(e^{γx}\right)\right)'\:=e^{γx}γ\)

Então, podemos escrever que:

\(\left(\left(e^{γx}\right)\right)''\:-2\left(\left(e^{γx}\right)\right)'\:+e^{γx}=0\)

\(γ^2e^{γx}-2e^{γx}γ+e^{γx}=0\)

\(e^{γx}\left(γ^2-2γ+1\right)=0\)

Agora, esta igualdade possui como resposta \(γ=1\) com multiplicidade de 2. Sendo assim, a solução real que se obtém quando temos somente 1 raiz é:

\(y=c_1e^x+c_2xe^x\)

Esta é a parte homogênea da EDO.

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Trabalharemos com a parte não-homogênea: \(g\left(x\right)=3e^{-x}\)

Esta EDO possui como resposta uma solução do tipo \(y=a_0e^{-x}\)

Faremos agora a substituição desta solução na EDO:

\(\left(\left(a_0e^{-x}\right)\right)''\:-2\left(\left(a_0e^{-x}\right)\right)'\:+a_0e^{-x}=3e^{-x}\)

Resolvendo esta EDO teremos:

\(a_0e^{-x}-2\left(-a_0e^{-x}\right)+a_0e^{-x}=3e^{-x}\\ 4a_0e^{-x}=3e^{-x}\\ a_0=\frac{3}{4}\)

Agora, voltando em \(y=a_0e^{-x}\), encontraremos:

\(y=\frac{3e^{-x}}{4}\)

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Por fim, montamos a parte homogênea e não homogênea em \(y=y_h+y_p\):

\(y=c_1e^x+c_2xe^x+\frac{3e^{-x}}{4}\)

E esta é a resposta deste exercício!

Bons estudos!