conceitos da Geometria Analítica
A planilha apresentada pelo topógrafo apresentou os seguintes dados para os vértices do polígono:
A= (2, 6, -5);
B= (6, 9, 7);
C= (5, 5, 0);
D= (3, 10, 2).
Logo, utilizando os conceitos da Geometria Analítica aprendidos ao longo do semestre:
Demonstre, através de equações e resoluções das mesmas, que esses vértices pertencem ou não a um paralelogramo, anexando a memória de cálculos e desenho da imagem (manuscrito ou programa do office).
💡 4 Respostas
Andre Smaira
Primeiro precisamos conhecer as características de um paralelogramo:
1. Um paralelogramo possui lados opostos paralelos e congruentes.
2. As diagonais de um paralelogramo se encontram no seu ponto médio.
Figura 1. Representação de um paralelogramo.
Na questão, sabemos que 
e para ter noção da distribuição dos pontos no plano, foi feita a representação abaixo:
Figura 2. Representação dos pontos da questão.
Portanto, os lados opostos são 
; e as diagonais são 
.
Agora, para calcular o tamanho dos seus lados, basta utilizar a fórmula da distância entre dois pontos:
Portanto, para os segmentos 
da questão:
Do mesmo modo, para os segmentos 
:
Portanto, foi possível determinar que os segmentos 
, 
são congruentes entre si. Falta agora determinar se eles são paralelos ou não.
Parra determinar se dois segmentos são paralelos ou não entre si, precisamos determinar os vetores que estão contidos em cada segmento do paralelogramo. Para achar um vetor 
que tem início em um ponto 
e ponto final em 
é só usar a seguinte fórmula:
Assim, os vetores 
e 
serão dados por:
Do mesmo modo, os vetores 
e
serão:
Assim, pode-se perceber que os vetores 
e 
, 
e
são linearmente dependentes entre si. Ou seja, os segmentos 
são paralelos entre si.
Por fim, para verificar que o polígono é realmente um paralelogramo, basta verificar que o ponto médio das diagonais 
serão os mesmos. Para isso, vamos utilizar a fórmula do ponto médio entre dois pontos:
Assim, podemos verificar que o ponto médio de 
é o ponto de encontro das duas diagonais:
Logo, foi demonstrado que 
.
Andre Smaira
Primeiro precisamos conhecer as características de um paralelogramo:
1. Um paralelogramo possui lados opostos paralelos e congruentes.
2. As diagonais de um paralelogramo se encontram no seu ponto médio.
Figura 1. Representação de um paralelogramo.
Na questão, sabemos que 
e para ter noção da distribuição dos pontos no plano, foi feita a representação abaixo:
Figura 2. Representação dos pontos da questão.
Portanto, os lados opostos são 
; e as diagonais são 
.
Agora, para calcular o tamanho dos seus lados, basta utilizar a fórmula da distância entre dois pontos:
Portanto, para os segmentos 
da questão:
Do mesmo modo, para os segmentos 
:
Portanto, foi possível determinar que os segmentos 
, 
são congruentes entre si. Falta agora determinar se eles são paralelos ou não.
Parra determinar se dois segmentos são paralelos ou não entre si, precisamos determinar os vetores que estão contidos em cada segmento do paralelogramo. Para achar um vetor 
que tem início em um ponto 
e ponto final em 
é só usar a seguinte fórmula:
Assim, os vetores 
e 
serão dados por:
Do mesmo modo, os vetores 
e
serão:
Assim, pode-se perceber que os vetores 
e 
, 
e
são linearmente dependentes entre si. Ou seja, os segmentos 
são paralelos entre si.
Por fim, para verificar que o polígono é realmente um paralelogramo, basta verificar que o ponto médio das diagonais 
serão os mesmos. Para isso, vamos utilizar a fórmula do ponto médio entre dois pontos:
Assim, podemos verificar que o ponto médio de 
é o ponto de encontro das duas diagonais:
Logo, foi demonstrado que 
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