A hipérbole \(x^2-y^2 = 1\) apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a:

É importante saber antes de tudo quais são os formatos de equação encontradas para hipérboles. Existem dois tipos:

Figura 1. Hipérbole de eixo real na horizontal Figura2. Hipérbole de eixo real na vertical

O eixo real é o eixo que contém os focos e os vértices da parábola. Ele pode estar na horizontal ou vertical:

• Eixo real na horizontal - a equação reduzida da hipérbole de centro é dada por:



• Eixo real na vertical - a equação reduzida da hipérbole de centro é dada por:



• Em outras palavras, a única diferença entre as duas equações é o sinal positivo ou negativo que aparece nos termos e. Se o eixo real é o eixo x, o termo leva o sinal positivo e o termo ganha um sinal negativo e vice-versa.

Como na questão a equação da parábola é dada por:

Podemos reescrevê-la como:

Portanto, sabemos agora que pela equação que a equação da parábola é do tipo eixo real na horizontal (termo que tem x é positivo e termo que tem y é negativo) e que seus coeficientes e centro O são:

Segue agora o esboço da parábola com seus principais pontos:

Figura 3. Elementos principais da parábola obtidos a partir da equação .

• O: centro;

• A1 e A2: vértices do eixo real;

• B1 e B2: vértices do eixo imaginário;

• 2f: distância focal (distância entre os focos);

---

• Uma relação muito importante das hipérboles é a seguinte:



• Substituindo os valores de e encontrados na equação temos que:



---

• Para encontrarmos as posições dos focos basta somar e subtrair o valor de encontrado na coordenada do centro O correspondente ao eixo real (neste caso o eixo x):



• Os focos estão esboçados na figura que segue:

---

• Figura 4. Posições dos focos , onde é aproximada por .

---

• Logo, a hipérbole possui focos .

Os dados do exercício são:

Hipérbole
F1(0,– 5) 
F2(0,5)
Vértice no ponto P(0,– 3)

A equação da hipérbole pode ser definida pelos seus focos (F1 e F2) e a distância entre eles (2c) e os valores de a e b, que definem os eixos real e imaginário da hipérbole, respectivamente.

Analisando os valores do foco F1 e F2, a coordenada x é zero. 
Portanto, a hipérbole encontra-se sobre o eixo y. Assim, a equação reduzida da elipse pode ser dada por:

y²/a² + x²/b² = 1

Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental:

c² = a²+b²

Sabendo que F1 (0,-c) e F2 (0,c):
-c = -5
c = 5

25 = a²+b²

Sabendo que o vértice da parábola encontra-se sobre o ponto P (0,-3), a coordenada -3 nos dá metade do valor da medida do eixo real (2a).

Portanto, a = -3.

25 = (-3)² + b²
b² = 25 - 9
b² = 16
b = 4

Desta forma, conhecendo os valores de a e b, podemos escrever a equação da hipérbole na forma reduzida como:

y²/(-3)² + x²/(4)² = 1

y²/9 + x²/16 = 1

Leia mais em Brainly.com.br - https://brainly.com.br/tarefa/6810450#readmore

É importante saber antes de tudo quais são os formatos de equação encontradas para hipérboles. Existem dois tipos:

Figura 1. Hipérbole de eixo real na horizontal Figura2. Hipérbole de eixo real na vertical

O eixo real é o eixo que contém os focos e os vértices da parábola. Ele pode estar na horizontal ou vertical:

• Eixo real na horizontal - a equação reduzida da hipérbole de centro é dada por:



• Eixo real na vertical - a equação reduzida da hipérbole de centro é dada por:



• Em outras palavras, a única diferença entre as duas equações é o sinal positivo ou negativo que aparece nos termos e. Se o eixo real é o eixo x, o termo leva o sinal positivo e o termo ganha um sinal negativo e vice-versa.

Como na questão a equação da parábola é dada por:

Podemos reescrevê-la como:

Portanto, sabemos agora que pela equação que a equação da parábola é do tipo eixo real na horizontal (termo que tem x é positivo e termo que tem y é negativo) e que seus coeficientes e centro O são:

Segue agora o esboço da parábola com seus principais pontos:

Figura 3. Elementos principais da parábola obtidos a partir da equação .

• O: centro;

• A1 e A2: vértices do eixo real;

• B1 e B2: vértices do eixo imaginário;

• 2f: distância focal (distância entre os focos);

---

• Uma relação muito importante das hipérboles é a seguinte:



• Substituindo os valores de e encontrados na equação temos que:



---

• Para encontrarmos as posições dos focos basta somar e subtrair o valor de encontrado na coordenada do centro O correspondente ao eixo real (neste caso o eixo x):



• Os focos estão esboçados na figura que segue:

---

• Figura 4. Posições dos focos , onde é aproximada por .

---

• Logo, a hipérbole possui focos .