O cálculo da integral vai ser sempre o inverso da derivada?

Essa é uma das formas de interpretar, mas lembre-se sempre de que a integral geral uma família de funções primitivas, ou seja, um infinito de funções que se derivadas se fornam a funçõa que você está integrando.

Uma forma de conferir se você acertou o resultado de uma integral de F(x) é verificar se a derivada do seu resultado for a sua função F(x).

Não sei se isso esclarece alguma coisa haha 

A integral é uma antiderivada, da mesma forma que o inverso de somar é subtrair o inverso de derivar é a integral (a recíproca é verdadeira).

Por exempro a derivada d/dx (x)= 1, então a integral S 1 dx= x + c, isto significa a integral serve para achar a função original antes de ser derivada.

Depende de que ponto de vista você tá olhando a Integral, e qual Integral você tem em mente...(como um Operador Linear, a partir da Teoria da Medida, a de Riemann etc.)

Em geral você pode pensar assim, como a Antiderivada...

Essas coisas são muito melhor esclarecidas se você estudar Análise Real!