Alguma dica para calcular integrais por substituição trigonométrica?

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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométrica

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria 

É fácil de perceber, que as funções  e  podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por 

Resultando em:

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

para , sendo a uma constante positiva.

para , com a > 0

para , sendo a maior do que zero, constante.