Como resolver essa questão ?

Centro da circunferencia (0,-1), a reta que passa por (0,-1) e (1,2) é dado pelo determinate

| 1   2  1 |

| 0  -1  1 |  Calculando determinante = 0 temos y = 3x -1 . Reta que passa pelo centro da

| x   y   1|  circunferencia e pelo ponto (1,2)

Como as retas são paralelas elas tem o mesmo coeficiente angular = 3, a reta procurada é dada pela equação:

Y-Y0=m(X-X0) -> Y-1=3(X+2) -> y = 3x + 7

Primeiro, deve-se determinar uma reta s que passa pelo ponto \((1,2)\) e pelo centro da circunferência \(x^2 + y^2 + 2y - 2 = 0\). Essa reta é do seguinte formato:

\(\Longrightarrow y_s = a_s\, x + b_s\)

A equação \((x-x_0)^2 + (y- y_0)^2 = r^2\) diz respeito a uma circunferência de raio \(r\) e centro \((x_0,y_0)\). Com isso, a equação da circunferência pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow x^2 + y^2 + 2y = 2 \)

\(\Longrightarrow x^2 + y^2 + 2y +1= 2 +1\)

\(\Longrightarrow x^2 + (y+1)^2= 3\)

Portanto, o raio é \(r= \sqrt{3}\) e centro \((x_0,y_0)=(0,-1)\).

Portanto, a reta s deve passar pelos pontos \((0,-1)\) e \((1,2)\).

Substituindo os pontos \((0,-1)\) e \((1,2)\) na equação \(y_s\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} -1 = a_s\, \cdot 0 + b_s \\ 2 = a_s\, \cdot 1 + b_s \end{matrix} \right.\)  \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} -1 = b_s \\ 2 = a_s\,+ b_s \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow 2 = a_s\,+ (-1)\)

\(\Longrightarrow a_s=3\)

Pelo enunciado, a reta r é paralela à reta s. Portanto, o coeficiente angular da reta r é:

\(\Longrightarrow a_r=a_s\)

\(\Longrightarrow \underline {a_r=3}\)

Portanto, o formato da reta r é:

\(\Longrightarrow y_r = a_r\, x + b_r\)

\(\Longrightarrow y_r = 3 x + b_r\)

Substituindo o ponto \(P(-2,1)\) na equação \(y_r\), o valor de \(b_r\) é:

\(\Longrightarrow 1 = 3 \cdot (-2) + b_r\)

\(\Longrightarrow 1 = -6 + b_r\)

\(\Longrightarrow \underline { b_r=7 }\)

Finalmente, a reta r é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_r = 3 x + 7 $}\)