Dependência e independência Linear ( Combinação Linear)

a)Seja C e D duas contantes pertencentes aos reais. Tome:
C(2 -3 2)+D(-1 2 4)=(7 -11 2) então:
2C-1D=7
-3C+2D=-11
2C+2D=2
Resolvendo o sistema chegamos a:
D=-5/3 e C=13/3

b)Seja K C e D duas contantes pertencentes aos reais. Tome:
C(2 -3 2)+D(-1 2 4)=(7 -11 2) então:
2C-1D=-8
-3C+2D=14
2C+2D=k
Resolvendo o sistema chegamos a:
D=4 ; C=-2 ; k=4.

Repare que resolvi um sistema 2x2 levando em consideração as duas primeiras equações e subisti na terceira. Ou você pode pensar em um sistema 3x3.

a) 

Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos escalares do vetor. Em linguagem matemática, \(V\) é combinação linear se existem \(a,b, c,....m\), tais que:

\(V=ax+by+cz.....mn\)

Para que os vetores \(u=(2, -3, 2) \)e \(v=(-1, 2 ,4)\)  sejam uma combinação linear de  \(w= (7,-11,2)\):

\(x1.U1+ x2. u2= V\\ x1.(2 ,-3 ,2) + x2. (-1, 2, 4)= (7,-11,2)\\ (2x1 ,-3x1 ,2x1) + (-x2, 2x2, 4x2)= (7,-11,2)\)

\(2x1-x2=7\)    Equação \(1\)

\(-3x1+2x2= -11\) Equação \(2\)

\(2x1+4x2= 2\)   Equação \(3\)

Multiplicando a equação \(1\) por (\(-1\)) e somando com a equação \(3\):

\(    -2x1+x2=-7 \\ +  2x1+4x2= 2\\ --------\\ 5x2= 9\\ \:\\ x2=\frac{9}5\)

Substituindo na equação \(3\):

\(2x1+4x2= 2 \\\ 2x1+ 4(\frac{9}5)=2\\ x1= -\frac{26}{10}\)

Assim, a combinação linear é :

\(\boxed{w= -\frac{26}{10} (2 ,-3 ,2) + \frac{9}5 (-1, 2, 4)}\)

b) 

Seguindo o mesmo raciocínio anterior :

\(x1.(2 ,-3 ,2) + x2. (-1, 2, 4)= (-8,14,k)\\ (2x1 ,-3x1 ,2x1) + (-x2, 2x2, 4x2)= (-8,14,k)\)

\(2x1-x2= -8\) Equação \(1\)

\(-3x1+2x2= 14\) Equação \(2\)

\(2x1+4x2= k\)   Equação \(3\)

Multiplicando a equação \(1\) por (\(-2\)) e somando com a \(2\):

\(   -4x1-2x2= -8\\ + -3x1+2x2= 14 \\ --------\\ -7x1= 6\\ x1=-\frac{ 6}7\)

Substituindo na equação \(1\):

\(2x1-x2= -8\\ 2( - \frac{6}7) -x2= -8\\ x2= \frac{44}7\)

Substituindo \(x1\) e \(x2\) na equação \(3\):

\(2x1+4x2= k \\ 2( - \frac{6}7) + 4(  \frac{44}7) = k\\ \boxed{k= \frac{76}7}\)