lim x->infinity [sqrt(x^2-5x+7)-x]

-5/2

 1 passo multiplica pelo conjugado, tem uma propriedade modular que permite fazer esse tipo de maniulação . 

2 passo, divide tudo por "x", mas quando for dividir a raiz antes vc tem de usar outra propriedade modular para poder jogar o x dentro da raiz 

3 passo, usando a tabelinha de indeterminações faz os devidos ajustes dai vai sobrar apenas o (-5/2)

Vou deixar um link de um programinha que é muito bom pra conferir as respostas,tem ate disponivel app para celular 

https://www.wolframalpha.com/

espero ter ajudado ... bons estudos

Seja

\(\lim _{x\to \infty \:}\left(\sqrt{x^2-5x+7}-x\right)\)

Vamos racionalizar com 

\(\frac{\sqrt{x^2-5x+7}+x}{\sqrt{x^2-5x+7}+x}\)

Assim:

\(=\frac{\left(\sqrt{x^2-5x+7}-x\right)\left(\sqrt{x^2-5x+7}+x\right)}{\sqrt{x^2-5x+7}+x}\)

\(=\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{-5x+7}{\sqrt{x^2-5x+7}+x}\right)\)

Dividindo pelo denominador de maior potência:

\(=\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{-5+\frac{7}{x}}{\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}+1}\right)\)

\(=\frac{\lim _{x\to \infty \:}\left(-5+\frac{7}{x}\right)}{\lim _{x\to \infty \:}\left(\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}+1\right)}\)

Mas

 \(\lim _{x\to \infty \:}\left(-5+\frac{7}{x}\right)=-5\)

e

\(\lim _{x\to \infty \:}\left(\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}+1\right)=2\)

Então:

\(\lim _{x\to \infty \:}\left(\sqrt{x^2-5x+7}-x\right)=\boxed{\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{-5+\frac{7}{x}}{\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^2}}+1}\right)=\frac{-5}{2}}\)