algebra linear

aaaaaaa

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Dada uma matriz \(m\times n\), vamos chamar \(a_{ij}\) o elemento da matriz \(A\) da linha \(i\) e coluna \(j\). De forma análoga, vamos também definir os elementos \(b_{ij}\) e \(c_{ij}\).

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Somar e igualar duas matrizes é equivalente a fazer essas operações em cada um de seus elementos individualmente.

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Dessa forma vamos ao primeiro problema:

a) \(A+C=B+C\):

\[a_{ij}+c_{ij}=b_{ij}+c_{ij}\]

Como cada um dos elementos é um escalar, vamos subtrair \(c_{ij}\) dos dois lados da equação:

\[a_{ij}+c_{ij}-c_{ij}=b_{ij}+c_{ij}-c_{ij}\]

\[a_{ij}+0=b_{ij}+0\]

\[a_{ij}=b_{ij}\]

Como para cada linha e coluna os elementos de \(A\) e \(B\) são iguais, a matriz inteira também deve ser:

\[\boxed{A+C=B+C\Rightarrow A=B}\]

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b) \(A+A=A\)

\[a_{ij}+a_{ij}=a_{ij}\]

Subtraindo \(a_{ij}\) de cada lado, temos:

\[a_{ij}+a_{ij}-a_{ij}=a_{ij}-a_{ij}\]

\[a_{ij}+0=0\]

\[a_{ij}=0\]

Se cada elemento da matriz é individualmente nulo, a matriz também o é:

\[\boxed{A+A=A\Rightarrow A=0}\]