Determine a derivada da função f(x)= (1+ x - 4√x)/x

Você pode começar dividindo tudo por x:

f(x) = 1/x +1 + (4√x)/x

f(x) = 1/x + 1 + 4.(x^1/2).(x^-1)

f(x) = 1/x + 1 + 4.(x^-1/2)

df/dx = -1/(x^2) + 4.(-1/2(x^-3/2))

df/dx = -1/(x^2) - 2/√(x^3)

Dada a função \(f(x) = {1 + x -4 \sqrt x \over x}\) primeiro vamos simplificá-la, trocando a raiz por uma potência fracional, e rearrumando:

\(f(x) = {1 + x -4 \sqrt x \over x} = {x -4 x^{1/2} + 1\over x}\)

Agora, poderíamos fazer pela derivada de um quociente, que utilizaria a seguinte regra:

\(f'(x) = {u'v-v'u \over v^2} \)

Onde, 

u: É sempre a função de cima (Do numerador da fração)

v: É sempre a função debaixo (Do denominador da fração) 

Porém, será mais fácil se trouxermos o x (Lá do denominador), para cima, dividindo termo a termo, chegando à seguinte função 

\(f(x) = {x -4 x^{1/2} + 1\over x} =x -4 x^{1/2} + 1 (x^{-1}) = 1 -4 x^{-1/2} + x^{-1}\)

E agora, derivando, teríamos:

\(f'(x) = -4 x^{(-{1 \over 2} -1)} (-{1 \over 2}) + x^{(-1-1)} (-1) = 2 x^{-{3 \over 2}} - x^{-2}\)