como esbocar campos vetoriais?

Dado um campo vetorial FF, uma curva CC é chamada de linha de fluxo deste campo se FF for um vetor tangente a CC em cada ponto ao longo de CC.

1.  Sejam CC uma linha de fluxo de F(x,y)=−yi+xjF(x,y)=−yi+xj e (x,y)(x,y) um ponto em CC para o qual y≠0y≠0. Mostre que as linhas de fluxo satisfazem a equação diferencial

   dydx=−xy.dydx=−xy.

2. Resolva a equação diferencial do item anterior, por separação de variáveis, e mostre que as linhas de fluxo são círculos concêntricos centrados na origem, ou seja, da forma x2+y2=Kx2+y2=K.

1926    

Determine o campo vetorial gradiente de  f(x,y)=ln(x+2y)f(x,y)=ln⁡(x+2y).

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3062    

Esboce o campo vetorial F=yi+xjx2+y2−−−−−−√F=yi+xjx2+y2, desenhando um diagrama.

3127    

Verifique que para o vetor posição r=xi+yj+zkr=xi+yj+zk valem as seguintes propriedades

1.  divr=3divr=3

2.  ∇1∥r∥=−r∥r∥3∇1‖r‖=−r‖r‖3

3059    

Esboce o campo vetorial F=12(i+j)F=12(i+j), desenhando um diagrama.

3060    

Esboce o campo vetorial F=yi−xjx2+y2−−−−−−√F=yi−xjx2+y2, desenhando um diagrama.

3126    

Verifique que para o vetor posição r=xi+yj+zkr=xi+yj+zk valem as seguintes propriedades

1.  rotr=0rotr=0

2.  ∇∥r∥=r∥r∥∇‖r‖=r‖r‖

1929    

Uma partícula se move em um campo de velocidade V(x,y)=(x2,x+y2)V(x,y)=(x2,x+y2). Se ela está na posição (2,1)(2,1) no instante t=3t=3, estime sua posição no instante t=3,01t=3,01.

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1928    

Encontre um campo de vetores G=P(x,y)i+Q(x,y)jG=P(x,y)i+Q(x,y)j no plano xyxy com a propriedade de que, em qualquer ponto (a,b)≠(0,0)(a,b)≠(0,0), GG é um vetor de magnitude x2+y2−−−−−−√x2+y2 tangente à circunferência x2+y2=a2+b2x2+y2=a2+b2 e aponta no sentido horário. (O campo é indefinido em (0,0).)

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3058    

Esboce o campo vetorial F(x,y)=(x−y)i+xjF(x,y)=(x−y)i+xj, desenhando um diagrama.

3065    

As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são tangentes a suas linhas de escoamento.

Use um esboço do campo vetorial F(x,y)=xi−yjF(x,y)=xi−yj para desenhar algumas linhas de escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de escoamento?
Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são x=x(t)x=x(t) e y=y(t)y=y(t), explique por que essas funções satisfazem as equações diferenciais dx/dt=xdx/dt=x e dy/dt=−ydy/dt=−y. Resolva então as equações de forma a obter uma equação da linha de escoamento que passe pelo ponto (1,1)(1,1).

3128    

Sejam r=xi+yj+zkr=xi+yj+zk, r=∥r∥r=‖r‖, ff uma função diferenciável de uma variável e F(r)=f(r)rF(r)=f(r)r.

1.  Mostre que

   ∇f(r)=f′(r)rr.∇f(r)=f′(r)rr.

2.  Use o resultado anterior para mostrar que F=3f(r)+rf′(r).F=3f(r)+rf′(r).

3066    

1. Esboce o campo vetorial F(x,y)=i+xjF(x,y)=i+xj e algumas linhas de escoamento. Qual é o formato que essas linhas de escoamento parecem ter?
2. Se as equações paramétricas das linhas de escoamento são x=x(t)x=x(t) e y=y(t)y=y(t), que equações diferenciais essas funções satisfazem? Deduza que dy/dx=xdy/dx=x.
3. Se uma partícula está na origem no instante inicial e o campo de velocidade é dado por FF, determine uma equação para a trajetória percorrida por ela.

1927    

Determine o campo vetorial gradiente de  f(x,y,z)=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√f(x,y,z)=x2+y2+z2.

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3057    

Faça uma correspondência entre as funções ff e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes (rotulados de I-IV). Justifique.

1. f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2
2. f(x,y)=(x+y)2f(x,y)=(x+y)2.
3. f(x,y)=x(x+y)f(x,y)=x(x+y).
4. f(x,y)=sinx2+y2−−−−−−√f(x,y)=sin⁡x2+y2.

I

II

III

IV

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3064    

Determine o campo vetorial gradiente ∇f∇f de f(x,y)=x2+y2−−−−−−√f(x,y)=x2+y2 e o esboce.

3063    

Determine o campo vetorial gradiente ∇f∇f de f(x,y)=x2−yf(x,y)=x2−y e o esboce.

3061    

Esboce o campo vetorial F=yi+12jF=yi+12j, desenhando um diagrama.