Coeficiente Angular e Taxa de Variação

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Para	simplificar	a	notação,	vamos	indicar	por	Sy a diferença entre as ordenadas e por Sx a 
diferença entre as abscissas; assim, o coeficiente angular de r pode ser representado, simples-
mente,	por:
mr 5 
Sy
 ___ 
Sx
 
Atenção! No cálculo do coeficiente angular por dois pontos, A e B, as diferenças indicadas 
no numerador e no denominador da fração 
Sy
 ___ 
Sx
 devem ser ambas obtidas de A para B, 
yA 2 yB
 _______ xA 2 xB
 , 
ou ambas de B para A, 
yB 2 yA
 _______ xB 2 xA
 .
12 Calcular o coeficiente angular da reta AB nos seguintes casos:
a) A(4, 9) e B(7, 15) d) A(4, 7) e B(23, 1)
b) A(5, 2) e B(1, 10) e) A(7, 9) e B(2, 9)
c) A(24, 2) e B(2, 216) f) A(2, 5) e B(2, 7)
13 Os pontos A(11, 7) e B(13, k) pertencem à reta r representada abaixo. Determinar a ordenada k do 
ponto B.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
a) m 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 15 2 9 _______ 
7 2 4
 5 6 __ 
3
 5 2
b) m 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 10 2 2 _______ 
1 2 5
 5 8 ___ 
24
 5 22
c) m 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 216 2 2 _________ 
2 2 (24)
 5 218 _____ 
6
 5 23
Resolução
 Sendo mr o coeficiente angular da reta r, temos:
 } k 2 7 ______ 
2
 5 1 ] k 5 9
7
1311
45°
y 
k
A 
O
B
x
r
 
mr 5 tg 45w 5 1
mr 5 k 2 7 ________ 
13 2 11
 
 ] k 2 7 ________ 
13 2 11
 5 1
 @ Note que podemos calcular esse coeficiente angular de A para B, ou seja: m 5 9 2 15 _______ 
4 2 7
 5 26 ___ 
23
 5 2 # 
 @ Note que podemos calcular esse coeficiente angular de A para B, ou seja: m 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 9 2 15 _______ 
4 2 7
 5 26 ___ 
23
 5 2 # 
 @ Note que podemos calcular esse coeficiente angular de A para B, ou seja: m 5 9 2 15 _______ 
4 2 7
 5 26 ___ 
23
 5 2 # 
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
d) m 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 7 2 1 _________ 
4 2 (23)
 5 6 __ 
7
 
e) m 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 9 2 9 ______ 
7 2 2
 5 0 __ 
5
 5 0
 (Note que, nesse caso, a reta AB é horizontal.)
f ) m 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 7 2 5 ______ 
2 2 2
 5 2 __ 
0
 (Y, lemos “não existe”)
 (Note que, nesse caso, a reta AB é vertical.)
68
C
a
p
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u
lo
 2
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m
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19
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fe
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19
98
.
CAP 02.indb 68 04.10.10 13:53:07
Interpretação do coeficiente angular como taxa de variação
Para	qualquer	função	y 5 f (x), a razão entre a variação de valores de y e a correspondente 
variação de valores de x, nessa ordem, é chamada de taxa média de variação de y em relação 
a x; isto é, se A(xA, yA) e B(xB, yB) são dois pontos distintos do gráfico da função y 5 f (x), então 
qualquer uma das razões abaixo é a taxa média de variação de y em relação a x, quando este 
varia de xA a xB.
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
yB 2 yA
 _______ xB 2 xA
 ou 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
yA 2 yB
 _______ xA 2 xB
 
Se a função y 5 f (x) tiver como gráfico uma reta, a taxa média de variação da função é cons-
tante e, por isso, pode ser chamada simplesmente de taxa de variação (sem necessidade da 
palavra	“média”).	Note	que	essa	constante	é	o	coeficiente	angular	da	reta,	que	será:
•	 positivo se, e somente se, a reta representar uma função crescente;
•	 negativo se, e somente se, a reta representar uma função decrescente;
•	 zero se, e somente se, a reta representar uma função constante.
Resolução
a) A reta que contém esse gráfico passa pelos pontos A(0, 10) e B(12, 28). Logo, o coeficiente angular 
m dessa reta é dado por: 
 m 5 
yB 2 yA _______ xB 2 xA
 5 28 2 10 ________ 
12 2 0
 5 18 ___ 
12
 5 1,5
b) Em uma função cujo gráfico é uma reta, a taxa de variação de y em relação a x é constante, 
portanto pode ser calculada a partir de dois pontos distintos quaisquer da reta. Assim, a taxa 
de variação da temperatura em relação ao tempo é numericamente igual ao coeficiente angular 
da reta que contém o gráfico apresentado, ou seja, m 5 1,5. Esse valor indica que a temperatura 
sobe 1,5 wC a cada minuto.
14 O gráfico ao lado descreve a temperatura y, em 
grau Celsius, de um aquecedor de ambiente, 
em função do tempo x, em minuto, desde o ins-
tante em que foi ligado (instante zero), quando 
sua temperatura era 10 wC, até o instante em 
que atinge a temperatura de 28 wC.
a) Calcular o coeficiente angular da reta que 
contém esse gráfico.
b) Determinar a taxa de variação da tempera-
tura em relação ao tempo.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
10
12
28
y 
x
20
07
20
06
20
05
20
04
20
03
20
02
20
01
20
00 Ano
214,9
210,7
209,9
201,4
197,7
191,3
176,5
216,9
D
ív
id
a 
(b
ilh
ão
 d
e 
U
S
$)
Evolução da dívida externa brasileira
Fonte: Banco Central do Brasil.
15 O gráfico a seguir descreve a evolução da dívida 
externa brasileira, em bilhão de dólares, do ano 
2000 ao ano 2007.
a) Calcular os coeficientes angulares das retas 
que contêm os segmentos do gráfico de 2001 
a 2002 e de 2002 a 2003.
b) Comparando os coeficientes angulares ob-
tidos no item a, em qual dos dois períodos 
de tempo considerados houve a maior taxa 
de variação da dívida externa brasileira?
c) Em qual dos períodos, [2000, 2001], [2001, 
2002], [2002, 2003], ..., [2006, 2007], a taxa de 
variação da dívida foi maior?
69
S
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 2
.2
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19
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 d
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98
.
CAP 02.indb 69 04.10.10 13:53:08
y
x
60°
r
y
x
135°
0
r
Resolução
a) Indicando por m1 e m2 os coeficientes angulares das retas que contêm os segmentos do gráfico 
de 2001 a 2002 e de 2002 a 2003, respectivamente, temos:
 m1 5 
210,7 2 209,9
 _____________ 
2002 2 2001
 5 
0,8
 ___ 
1
 5 0,8 e m2 5 
214,9 2 210,7
 _____________ 
2003 2 2002
 5 
4,2
 ___ 
1
 5 4,2
b) O coeficiente angular mede a taxa de variação em cada um dos dois períodos considerados, isto 
é, o coeficiente angular indica quantos bilhões de dólares a dívida externa cresceu ou decresceu 
no respectivo período. Como 4,2 . 0,8, concluímos que de 2002 a 2003 a taxa de variação da 
dívida foi maior que a de 2001 a 2002. Isso significa que, de 2002 a 2003, o acréscimo da dívida, 
em bilhão de dólares, foi maior que o acréscimo no período de 2001 a 2002.
c) O coeficiente angular m da reta que contém o segmento correspondente ao período de 2006 a 
2007 é dado por:
 m 5 
197,7 2 176,5
 _____________ 
2007 2 2006
 5 
21,2
 _____ 
1
 5 21,2
 Esse coeficiente angular é o maior dentre todos os coeficientes angulares das retas que contêm 
os segmentos que compõem o gráfico; logo, a maior taxa de variação ocorreu no período de 2006 
a 2007.
21 Determine a inclinação a e o coeficiente angular m 
da reta r em cada um dos casos:
b)
c)a)
d)
22 As retas r e s representadas no plano cartesiano 
abaixo são paralelas. Determine a inclinação e o 
coeficiente angular da reta r.
23 As retas r e s representadas no plano cartesiano a 
seguir são perpendiculares. Determine a inclinação 
e o coeficiente angular da reta s.
24 Desenhe em seu caderno o sistema cartesiano de 
eixos ortogonais e represente, no plano cartesiano 
assim obtido, a reta r que passa pelo ponto P(24, 0) 
e tem coeficiente angular igual a 1.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
y
x0
r
y
x0
r
y
x
60°
0
r s
y
x
30°
r
s
25 O gráfico abaixo mostra a reta AB de inclinação a. 
Considere a reta r paralela ao eixo das abscissas, 
passando por A; e a reta s paralela ao eixo das or-
denadas, passando por B, sendo C o ponto comum 
às retas r e s.
20
3
α
y
x
B
A
6
5
a) Que relação existe entre a medida do ângulo BAC 
e a inclinação a da reta AB?
b) Calcule as medidas dos segmentos AC e BC.
c) Calcule o coeficiente angular da reta AB.
70
C
a
p
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u
lo
 2
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G
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19
98
.
CAP 02.indb 70 04.10.10 13:53:09