alguém poderia nos ajudarmos nesta questão? 5. Sejam a,m,n ∈ Z+ inteiros positivos dados. Mostre que mdc(a,m) = mdc(a,n) = 1 =⇒ mdc(a,mn) = 1.

Para mostrarmos que mdc(a;m) = mdc(a; n) = 1 ) mdc(a;mn) = 1, suponhamos, por absurdo,
que mdc(a;m
n) = b > 1. Daí, temos que b j a e b j m. Logo, se b j a e b j m, temos
que b = mdc(a;m) ou b j mdc(a;m), em ambos os casos temos absurdos, pois por hipótese, o
mdc(a;m) = 1.
Além disso, se b j a e b j n, temos que b = mdc(a; n) ou b j mdc(a; n), o que também é um absurdo.
Portanto, mdc(a;mn) = 1.

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O Exercício nos pede que provemos que \(mdc\left( {a,m} \right) = mdc\left( {a,n} \right) = 1\) \(\to\) \(mdc\left( {a,mn} \right) = 1\) e para realizar isto, provaremos por absurdo.

Dessa maneira, iremos supor que \(mdc\left( {a,m \cdot n} \right) = c > 1\). Com isso, teremos que \(c\left| {a{\text{ }}e{\text{ }}c} \right|m\).

Então, dada a afirmação anterior, é possível notar que \(c = mdc(a,m)\) ou \(c|mdc(a,m)\),entretanto nos dois casos verificamos absurdos, pois na hipótese inicial \(mdc(a,m) = 1\).

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Portanto, provamos que \(\boxed{mdc(a,m) = 1}\) . Lembrando que podemos provar o mesmo fato através do \(mdc\left( {a,n} \right)\) também.