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Para que a reta \(r\) seja concorrente da intersecção entre os planos, o seguinte ponto que representa a reta \(r\):
\[X=(k,2,2)+\lambda(k,6,6)=(k+\lambda k,2+6\lambda,2+6\lambda)\]
Deve satisfazer as equações dos dois planos simultaneamente:
\[\begin{cases}-2x+4y+k=0\\5y+z+2=0\end{cases}\]
Substituindo o ponto \(X\), temos:
\[\begin{cases}-2k(1+\lambda)+8(1+3\lambda)+k=0\\10(1+3\lambda)+2(1+3\lambda)+2=0\end{cases}\]
Da segunda equação:
\[12(1+3\lambda)=-2\]
\[1+3\lambda=-\dfrac16\]
\[3\lambda=-\dfrac76\]
\[\lambda=-\dfrac7{18}\]
Substituindo na primeira equação do sistema, temos:
\[-2k(1+\lambda)+8(1+3\lambda)+k=0\]
\[-2k\left(1-\dfrac7{18}\right)+8\left(-\dfrac16\right)+k=0\]
\[-2k\cdot\dfrac{11}{18}-8\cdot\dfrac16+k=0\]
\[-\dfrac{11}9k-\dfrac43+k=0\]
\[-\dfrac29k-\dfrac43=0\]
Multiplicando por \(9\) e dividindo por \(-2\), temos:\(\)k+6=0\(--- Finalmente:\)\boxed{k=-6,00}\(\)
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Geometria Analítica
•Uniasselvi
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