Verifique se as transformações a seguir são lineares:? T: R² --> R², T(x,y)= (3y-x, y-x).

a) T : R² → R² , definida por T( x , y ) = ( x - y , 0 ) 

Neste caso não basta só verificar T( 0 , 0 ) = 0, temos que aplicar a definição, vem; 

Devemos mostrar que : 

l - T( u + v ) = T( u ) + F( v ) ; ∀u = ( x₁ , y₁ ) e v = ( x₂ , y₂ ) ∈ ℝ² 

T( u + v ) = T( ( x₁ , y₁ ) + ( x₂ , y₂ ) ) = T( x₁ + x₂ , y₁ + y₂ ) = ( x₁ + x₂ - y₁ - y₂ , 0 ) 

T( u + v ) = ( x₁ - y₁ , 0 ) + ( x₂ - y₂ , 0 ) = T( x₁ , y₁ ) + T( x₂ , y₂ ) 

T( u + v ) = T( u ) + T( v ) 

A primeira condição é satisfeita! 

ll - T( αu ) = αT( u ) , ∀u = ( x₁ , y₁ ) ∈ ℝ² e ∀α ∈ ℝ² 

T( αu ) = αT( u ) 

T( αu ) = T( α( x₁ , y₁ ) ) = T( αx₁ , αy₁ ) = ( αx₁ - αy₁ , 0 ) = ( α.( x₁ - y₁ ) , 0 ) = α.( x₁ - y₁ , 0 ) = αT( x₁ , y₁ )

T( αu ) = αT( u ). 

A segunda condição também é satisfeita! 

R ────────► Portanto, T é uma transformação linear. 

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Uma transformação \(T\) é dita linear quando dados os elementos \(u\) e \(v\) e o escalar \(\alpha\) são válidas as seguintes relações:

• \(T(u+v)=T(u)+T(v)\)
• \(T(\alpha u)=\alpha T(u)\)

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Vamos verificar essas relações para o nosso caso, tomando \(u=(x_u,y_u)\) e \(v=(x_v,y_v)\). É dado:

\[T(x,y)=(3y-x,y-x)\]

Para a primeira propriedade, temos:

\[T(u+v)=T(x_u+x_v,y_u+y_v)=(3(y_u+y_v)-(x_u+x_v),(y_u+y_v)-(x_u+x_v))\]

Usando a propriedade distributiva, temos:

\[T(u+v)=(3y_u+3y_v-x_u-x_v,y_u+y_v-x_u-x_v)\]

Rearranjando:

\[T(u+v)=((3y_u-x_u)+(3y_v-x_v),(y_u-x_u)+(y_v-x_v))\]

Separando como uma soma de vetores, temos:

\[T(u+v)=(3y_u-x_u,y_u-x_u)+(3y_v-x_v,y_v-x_v)\]

Ou:

\[\boxed{T(u+v)=T(u)+T(v)}\]

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Vamos agora verificar a segunda propriedade:

\[T(\alpha u)=T(\alpha x_u,\alpha y_u)=(3(\alpha y_u)-(\alpha x_u),(\alpha y_u)-(\alpha x_u))\]

Fatorando com o fator \(\alpha\) comum em evidência:

\[T(\alpha u)=(\alpha (3y_u-x_u),\alpha (y_u- x_u))\]

Evidenciando \(\alpha\) também em relação ao vetor:

\[T(\alpha u)=\alpha(3y_u-x_u,y_u- x_u)\]

Logo:

\[\boxed{T(\alpha u)=\alpha T(u)}\]

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Concluímos, portanto, que a transformação a seguir é uma transformação linear:

\[\boxed{T(x,y)= (3y-x, y-x)}\]