Lista de Exercícios Transformações Lineares

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Lista de Exercícios – Transformações Lineares 
 
1) Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares (BOLDRINI et al., 2010): 
 
a) 𝑓: ℝ2 → ℝ2 
(𝑥, 𝑦) ↦ (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) 
b) 𝑔: ℝ2 → ℝ2 
(𝑥, 𝑦) ↦ (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦) 
c) ℎ: 𝑀2 → ℝ 
[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ↦ det [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 
d) 𝑘: 𝑃2 → 𝑃3 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ↦ 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 
e) 𝑚: ℝ3 → ℝ2 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦ (𝑥, 𝑦, 𝑧) [
1 2
0 −1
1 1
] 
f) 𝑛: ℝ → ℝ 
𝑥 ↦ |𝑥| 
 
2) Dentre as transformações 𝑇: ℝ2 → ℝ2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são 
lineares (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995): 
 
a) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 3𝑦, 2𝑥 + 5𝑦) 
b) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥) 
c) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 𝑦2) 
d) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 1, 𝑦) 
e) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 𝑥, 0) 
f) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (|𝑥|, 2𝑦) 
g) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (sen 𝑥 , 𝑦) 
h) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 − 𝑦) 
i) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑦, −2𝑥) 
 
3) Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares (STEINBRUCH & WINTERLE, 
1995): 
 
a) 𝑇: ℝ2 → 𝑀(2,2) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = [
2𝑦 3𝑥
−𝑦 𝑥 + 2𝑦
] 
b) 𝑇: 𝑀(2,2) → ℝ2 
𝑇 ([
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]) = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 + 𝑐) 
c) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [
2 1 3
−1 0 −2
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
 
4) (BOLDRINI et al., 2010) 
a) Ache a transformação linear 𝑇: ℝ3 → ℝ2 tal que 𝑇(1,0,0) = (2,0), 𝑇(0,1,0) = (1,1) e 
𝑇(0,0,1) = (0, −1). 
b) Encontre 𝑣 de ℝ3 tal que 𝑇(𝑣) = (3,2). 
 
5) (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995) 
a) Determinar a transformação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ3 tal que 𝑇(−1,1) = (3,2,1) e 𝑇(0,1) =
(1,1,0). 
b) Encontre 𝑣 ∈ ℝ3 tal que 𝑇(𝑣) = (−2,1, −3). 
 
6) (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995) 
a) Determinar a transformação linear 𝑇: ℝ3 → ℝ2 tal que 𝑇(1, −1,0) = (1,1) e 𝑇(0,1,1) =
(2,2) e 𝑇(0,0,1) = (3,3). 
b) Achar 𝑇(1,0,0) e 𝑇(0,1,0). 
 
7) Para cada uma das transformações lineares dadas, encontre uma base e a dimensão do 
núcleo e da imagem (LIPSCHUTZ; LIPSON, 2011). 
a) 𝑇: ℝ3 → ℝ3 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧, 2𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧, 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧) 
b) 𝑇: ℝ4 → ℝ3 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 2𝑡, 2𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 + 5𝑡, 𝑥 + 2𝑦 +
6𝑧 + 5𝑡) 
c) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧) 
d) 𝑇: ℝ3 → ℝ2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦 + 𝑧) 
e) 𝑇: ℝ5 → ℝ3 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 𝑠 + 𝑡, 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 2𝑠 − 𝑡, 3𝑥 +
6𝑦 + 8𝑧 + 5𝑠 − 𝑡) 
 
8) Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares dos exercícios 1, 2 e 3. 
Determine se são sobrejetora, injetora ou bijetora. 
 
Soluções: 
 
2) a) é b) é c) não é d) não é e) é f) não é g) não é h) não é i) é 
3) a) é b) é c) é 
4) a) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧) 
b) 𝑣 = (𝑥, 3 − 2𝑥, 1 − 2𝑥) 
5) a) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (−2𝑥 + 𝑦, −𝑥 + 𝑦, −𝑥) 
b) 𝑣 = (3,4) 
6) a) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑦 + 3𝑧, −𝑦 + 3𝑧) 
b) 𝑇(1,0,0) = (0,0) e 𝑇(0,1,0) = (−1, −1) 
 
Referências 
 
■ BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra linear. 3.ed. ampl. e rev. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 411p. 
■ LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc Lars. Álgebra Linear. 4. ed. Porta Alegre: 
Bookman, 2011. 432 p. (Coleção Schaum). Tradução: Dr. Claus Ivo Doering. 
■ STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1995. 583p