Sabendo-se que a equação x2 –lnx – 4 = 0 tem uma raiz real  e α ϵ ]2; 3[, podemos afirmar que um valor aproximado de α pelo método de Newton-Raphs?

1212

\[{x^{\left( {n + 1} \right)}} = {x^{\left( n \right)}} - \dfrac{{f\left( {{x^{\left( n \right)}}} \right)}}{{f'\left( {{x^{\left( n \right)}}} \right)}},n \geqslant 1\]

---

Do enunciado, podemos tomar \(f\left( x \right) = {x^2} - \ln x - 4\) e \({x^{\left( 1 \right)}} = 3\). Da fórmula percebemos que iremos precisar da derivada da função, ou seja, \(f'\left( x \right) = 2x - \dfrac{1}{x}\). Assim, para \(n=1\) temos:

\[\eqalign{ {x^{\left( 2 \right)}} &= {x^{\left( 1 \right)}} - \dfrac{{f\left( {{x^{\left( 1 \right)}}} \right)}}{{f'\left( {{x^{\left( 1 \right)}}} \right)}}\cr&= 3 - \dfrac{{{3^2} - \ln 3 - 4}}{{2 \cdot 3 - \dfrac{1}{3}}}\cr&= 2,3115 }\]

---

Para \(n=2\), temos:

\[\eqalign{ {x^{\left( 3 \right)}} &= {x^{\left( 2 \right)}} - \dfrac{{f\left( {{x^{\left( 2 \right)}}} \right)}}{{f'\left( {{x^{\left( 2 \right)}}} \right)}}\cr&= 2,3115 - \dfrac{{{{\left( {2,3115} \right)}^2} - \ln \left( {2,3115} \right) - 4}}{{2 \cdot 2,3115 - \dfrac{1}{{2,3115}}}}\cr&= 2,1909 }\]

---

Realizando mais iterações, obtemos um valor aproximado para a raiz de \(2,1869\).

---

Portanto, temos que \(\boxed{\alpha \cong 2,1869}\).