Calculando a área da região limitada pelas curvas

A área da região limitada pelas curvas dadas é obtida através do cálculo de

\(\int_a^b (9-x^2) dx\)

A função \(y=9-x^2\) representa uma parábola com concavidade para baixo e suas interesecções com \(y=0\) (o eixo das abscissas) são obtidas resolvendo-se a equação \(9-x^2=0\). As soluções são \(x=\pm3\), e esses valores de \(x\) correspondem aos limites de integração \(a=-3\) e \(b=3\). A integral é resolvida usando regras básicas de integração:

\(\begin{eqnarray} \int_{-3}^3 (9-x^2)\,dx&=&\int_{-3}^3 9\,dx-\int_{-3}^3 x^2\,dx\\[0.3cm] &=&\left.9x\right|_{-3}^3-\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{-3}^3\\[0.3cm] &=&\left[9\cdot(3)-9\cdot (-3)\right]-\left[\frac{1}{3}(3)^3-\frac{1}{3}(-3)^3\right]\\[0.3cm] &=&(27+27)-(9+9)\\[0.3cm] &=&36 \end{eqnarray}\)

Logo, a resposta é 36 unidades de área.