Considere que você é o engenheiro responsável pela construção de um oleoduto deve passar por uma montanha com relevo dado pela função H(x,y) =

8/(√((-2x^2-y^2 ) 10)), sendo x e y dados em metros lineares e H dado em metros de altura. Sabendo que a construção está parada em um ponto dado pelas coordenadas (1,1) pede-se:
A) Se a tubulação for construída na direção positiva de x, de quanto será a taxa de variação de altura em relação à distância?
B) Se a tubulação for construída na direção positiva de y, de quanto será a taxa de variação da altura em relação à distância?
C) Se for construída na direção □(a ⃗=2i j), de quanto será a taxa de variação da altura em relação à distância?
D) Se for construída na direção a ⃗=i 2j, de quanto será a taxa de variação da altura em relação à distância?
E) Em qual direção ela deve ser construída para que não tenha variação de altura, ou seja, percorrer uma curva de nível?

Cálculo II

•

UNIC

0

2

Bárbara Bessa

16/06/2015

💡 2 Respostas

Leonardo gonçalves

09.05.2018

.

0

RD Resoluções

16.06.2018

Pelo enunciado a altura é um terço do diâmetro o qual equivale ao dobro do raio da base:

$h=\frac{d}{3}=\frac{2r}{3}\,\,\therefore\,\,r=\frac{3h}{2}$

A taxa de variação do volume vale $\frac{dV}{dt}=2\,\text{m}^3/\text{min}$
Queremos saber o valor de $\frac{dh}{dt}$ para $h=1\,\text{m}$

O volume de um cone é igual a :

$V=\frac{\pi r^2 h}{3}$ . Com $r=\frac{3h}{2}$ fica:
$V=\frac{\pi \cdot (3h)^2\cdot h}{3\cdot 2^2}$
$V=\frac{3\pi}{4}\cdot h^3$

Derivando implicitamente em relação ao tempo usando a regra da cadeia:

$\frac{dV}{dt}=\frac{3\pi}{4}\cdot (3h^2)\cdot \frac{dh}{dt}$
$2=\frac{3\pi}{4}\cdot (3\cdot 1^2)\cdot \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt}=\frac{8}{9\pi}\,\text{m}/\text{min}$
$\boxed{\frac{dh}{dt}\,\,\approx\,\,0,283\,\text{m}/\text{min}}$