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as 2

xi

1

3

2

4

5

yi

5

4

3

2

1

 

Supondo que entre as variáveis x e y há uma relação linear em que y depende de x, ajuste uma reta tal que: y = a0 + a1x


6 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para determinar a equação da reta vamos utilizar regressão linear. Por esse método, os coeficientes da reta que ajusta os pontos são determinados pelas fórmulas:


\[\left\{ \matrix{ {a_1} = {{n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} - \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} } \right)} \over {n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^2}}} \cr {a_0} = \bar y - {a_1}\bar x } \right.\]

---

Os pontos dados foram \(\left( {1,5} \right)\), \(\left( {3,4} \right)\), \(\left( {2,3} \right)\), \(\left( {4,2} \right)\) e \(\left( {5,1} \right)\). Nas fórmulas anteriores, \(n\) é o número de pontos dados, \({\bar x}\) é a média dos valores de \(x\) e \({\bar y}\), a média dos valores de \(y\). Assim, com \(n=5\), podemos calcular os termos da fórmula de \({a_1}\):


\[\left\{ \matrix{ \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} = 1 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 \cr = 36 \cr \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = 1 + 3 + 2 + 4 + 5 \cr = 15 \cr \sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \cr = 15 \cr \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} = {1^2} + {3^2} + {2^2} + {4^2} + {5^2} \cr = 55 } \right.\]

---

Substituindo os resultados encontrados na fórmula de \({a_1}\):


\[\eqalign{ {a_1} &= {{5 \cdot 36 - 15 \cdot 15} \over {5 \cdot 55 - {{\left( {15} \right)}^2}}}\cr&= - 0,9 }\]

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Dos pontos dados, temos \(\bar x = 3\) e \(\bar y = 3\). Substituindo o valor das médias e de \(a_1\) na fórmula de \(a_0\):


\[\eqalign{ {a_0} &= 3 - \left( { - 0,9} \right) \cdot 3\cr&= 5,7 }\]

---

Portanto, temos que \(\boxed{y = 5,7 - 0,9x}\).

Para determinar a equação da reta vamos utilizar regressão linear. Por esse método, os coeficientes da reta que ajusta os pontos são determinados pelas fórmulas:


\[\left\{ \matrix{ {a_1} = {{n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} - \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} } \right)} \over {n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)}^2}}} \cr {a_0} = \bar y - {a_1}\bar x } \right.\]

---

Os pontos dados foram \(\left( {1,5} \right)\), \(\left( {3,4} \right)\), \(\left( {2,3} \right)\), \(\left( {4,2} \right)\) e \(\left( {5,1} \right)\). Nas fórmulas anteriores, \(n\) é o número de pontos dados, \({\bar x}\) é a média dos valores de \(x\) e \({\bar y}\), a média dos valores de \(y\). Assim, com \(n=5\), podemos calcular os termos da fórmula de \({a_1}\):


\[\left\{ \matrix{ \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} = 1 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 \cr = 36 \cr \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = 1 + 3 + 2 + 4 + 5 \cr = 15 \cr \sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \cr = 15 \cr \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} = {1^2} + {3^2} + {2^2} + {4^2} + {5^2} \cr = 55 } \right.\]

---

Substituindo os resultados encontrados na fórmula de \({a_1}\):


\[\eqalign{ {a_1} &= {{5 \cdot 36 - 15 \cdot 15} \over {5 \cdot 55 - {{\left( {15} \right)}^2}}}\cr&= - 0,9 }\]

---

Dos pontos dados, temos \(\bar x = 3\) e \(\bar y = 3\). Substituindo o valor das médias e de \(a_1\) na fórmula de \(a_0\):


\[\eqalign{ {a_0} &= 3 - \left( { - 0,9} \right) \cdot 3\cr&= 5,7 }\]

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Portanto, temos que \(\boxed{y = 5,7 - 0,9x}\).

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Gustavo Henrique

Há mais de um mês

A resposta é  y = 5.7 - 0.9x

 

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas