Como os coeficientes dessa edo nao sao constantes, vc nao vai conseguir calcular. Vc precisaria das duas soluçoes ou de uma só pra resolver ela por redução ou variação de parâmtro. 

Olá!

Esta é uma EDO de segunda ordem não-homogênea de coeficientes constantes. Sua forma geral é: \(ay''+by'+cy=g\left(x\right)\). A solução geral desta equação é do tipo:

\(a\left(x\right)y''+b\left(x\right)y'+c\left(x\right)y=g\left(x\right)\)

que pode ser escrito como \(y=y_h+y_p\), onde o subindice h representa a parte homogenea e o subindice p representa a parte particular da EDO.

Vamos resolver primeiramente a parte homogênea da EDO. Devemos então resolver a seguinte EDO:

\(x^2y''\:-2xy'\:+2y=0\)

Esta EDO é uma EDO de segunda ordem homogênea de Euler. A solução desta EDO possui a forma \(x^r\). Reescreveremos então a EDO em função desta solução e trabalharemos com as derivadas:

\(x^2\left(\left(x^r\right)\right)''\:-2x\left(\left(x^r\right)\right)'\:+2x^r=0\\ x^r\left(r^2-3r+2\right)=0\)

Agora, repare que os valores que resolvem esta EDO podem ser dois: \(r=1, r=2\). Temos então uma solução real e de valores diferentes. Logo, esta solução será do tipo:

\(y=c_1x^{r_1}+c_2x^{r_2}\\y=c_1x^2+c_2x\)

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Trabalharemos agora com a parte particular da EDO. Devemos encontrar qual o valor que satisfaça:

\(x^2y''\:-2xy'\:+2y=4x^2\)

Trabalhando com esta EDO, obtemos:

\(y''\:-\frac{2y'\:}{x}+\frac{2y}{x^2}=4\)

Esta EDO possui solução particular do tipo \(y_p=y_1u_1+y_2u_2\), onde:

\(y_p=x^2\cdot \:4\ln \left(x\right)+x\left(-4x\right)\\y_p=4x^2\ln \left(x\right)-4x^2\)

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Por fim, somamos a parte homogenea e a parte particular da solução, e obtemos a resposta:

\(y=y_h+y_p\\y=c_1x^2+c_2x+4x^2\ln \left(x\right)-4x^2\)

Observe que x>0, como pedido no exercício (se não não existiria a função ln(x)).

Bons estudos!