Resolva o seguinte problema, envolvendo derivadas direcionais.

Seriam quantos problemas a resolver?? 81 9 9701 1759

3. a, b e c

---

Temos que a temperatura na chapa é dada por \(T=4x^2+3y^2\) e a trajetória do pássaro começa em \(x=1\) e \(y=2\) num ângulo de \(30°\) com o eixo \(x\), sendo que ele caminha no primeiro quadrante, com \(x>0\) e \(y>0\).

a) O vetor unitário que descreve a trajetória do pássaro é \(u=cos30\vec{i}+sen30\vec{j}\). Para saber se nessa direção a temperatura diminui ou aumenta devemos avaliar a derivada de \(T\) na direção \(u\). Temos que \(D_u(T(x,y))=\dfrac{\partial T}{\partial x}u_i+\dfrac{\partial T}{\partial y}u_j=8x\cdot cos30+6y\cdot sen30= 4\sqrt3x+3y\). Essa derivada é positiva para valores de \(x\) e \(y\) positivos, logo, o pássaro caminha no sentido de aumento de temperatura.

A variação de temperatura, avaliando no ponto \((1,2)\), em °C/cm é \(\boxed{D_u=12,93}\).

b) A direção que forma um ângulo de \(90°\) com o eixo \(x\) é o eixo \(y\). Assim, sua direção é \(y=0\vec{i}+1\vec{j}\) e a derivada direcional fica \(D_y(T(x,y))=\dfrac{\partial T}{\partial x}u_i+\dfrac{\partial T}{\partial y}u_j=8x\cdot 0+6y\cdot 1=6y\). No ponto \((1,2)\), temos \(D_u=12,93\) enquanto \(D_y=12\). Logo, a temperatura nessa trajetória é menor que a do item anterior pois aumenta mais lentamente.

c) A derivada direcional no sentido de \(v=3\vec{i}+4\vec{j}\) é \(D_v(T(x,y))=\dfrac{\partial T}{\partial x}u_i+\dfrac{\partial T}{\partial y}u_j=8x\cdot 3+6y\cdot 4=24x+24y\). A variação de temperatura, avaliando no ponto \((1,2)\), é então, \(\boxed{72°C/cm}\).