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Qual as naturezas das cargas e a massa m da esfera de carga Q2?

 

2.
 
   
   
   
   
   

Eletromagnetismo

ESTÁCIO EAD


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para resolver essa questão, vamos esquematizar o problema incluindo a força peso \(\vec P\) da esfera com carga \({Q_2}\) e suas componentes \({{\vec P}_x}\) e \({{\vec P}_y}\), e o ângulo \(\alpha = 30^\circ\) conforme mostrado na figura:


Autoria Própria

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Para que a esfera de carga \({Q_2}\) fique em equilíbrio, deve existir uma força \({\vec F}\), de natureza elétrica, que anule a componente \({{\vec P}_x}\). Logo, essa força deve ter a mesma direção, a mesma intensidade e sentido contrário ao da componente mencionada. Para que isso, ocorra, as esferas devem se repelir. Ou seja, suas cargas devem ter sinais iguais.

---

Assim, a força \({\vec F}\) pode ser determinada pela lei de Coulomb que diz que a força eletrostática entre dois corpos é proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. O fator de proporcionalidade é dado por \(\dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\), onde \({{\varepsilon _0}}\) é a permissividade do vácuo. Logo, para a sua intensidade, temos:


\[F = \dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{d^2}}}\]

---

Para determinar a intensidade da componente \({{\vec P}_x}\), vamos utilizar o triângulo retângulo formado pelos vetores \({{\vec P}_x}\), \({{\vec P}_y}\) e \({\vec P}\) na figura anterior. Assim, por meio das relações trigonométricas, podemos escrever:


\[\eqalign{ \dfrac{{{P_x}}}{P} &= \sin \alpha\cr{P_x} &= P \cdot \sin \alpha\cr&= mg \cdot \sin 30^\circ\cr&= \dfrac{{mg}}{2} }\]

---

Igualando as intensidades de \(F\) e \({P_x}\), temos:


\[\eqalign{ \dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{d^2}}} &= \dfrac{{mg}}{2}\crm &= \dfrac{{2 \cdot {Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot g \cdot {d^2}}}\cr&= \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot g \cdot {d^2}}} }\]

---

Portanto, como os sinais devem ser iguais e a massa é \(\boxed{m = \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot g \cdot {d^2}}}}\), deve ter algum erro de digitação das alternativas.

Para resolver essa questão, vamos esquematizar o problema incluindo a força peso \(\vec P\) da esfera com carga \({Q_2}\) e suas componentes \({{\vec P}_x}\) e \({{\vec P}_y}\), e o ângulo \(\alpha = 30^\circ\) conforme mostrado na figura:


Autoria Própria

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Para que a esfera de carga \({Q_2}\) fique em equilíbrio, deve existir uma força \({\vec F}\), de natureza elétrica, que anule a componente \({{\vec P}_x}\). Logo, essa força deve ter a mesma direção, a mesma intensidade e sentido contrário ao da componente mencionada. Para que isso, ocorra, as esferas devem se repelir. Ou seja, suas cargas devem ter sinais iguais.

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Assim, a força \({\vec F}\) pode ser determinada pela lei de Coulomb que diz que a força eletrostática entre dois corpos é proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. O fator de proporcionalidade é dado por \(\dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\), onde \({{\varepsilon _0}}\) é a permissividade do vácuo. Logo, para a sua intensidade, temos:


\[F = \dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{d^2}}}\]

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Para determinar a intensidade da componente \({{\vec P}_x}\), vamos utilizar o triângulo retângulo formado pelos vetores \({{\vec P}_x}\), \({{\vec P}_y}\) e \({\vec P}\) na figura anterior. Assim, por meio das relações trigonométricas, podemos escrever:


\[\eqalign{ \dfrac{{{P_x}}}{P} &= \sin \alpha\cr{P_x} &= P \cdot \sin \alpha\cr&= mg \cdot \sin 30^\circ\cr&= \dfrac{{mg}}{2} }\]

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Igualando as intensidades de \(F\) e \({P_x}\), temos:


\[\eqalign{ \dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{d^2}}} &= \dfrac{{mg}}{2}\crm &= \dfrac{{2 \cdot {Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot g \cdot {d^2}}}\cr&= \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot g \cdot {d^2}}} }\]

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Portanto, como os sinais devem ser iguais e a massa é \(\boxed{m = \dfrac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot g \cdot {d^2}}}}\), deve ter algum erro de digitação das alternativas.

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Junior Souza

Há mais de um mês

questão incompleta

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas