Determinar a projeção ortogonal de u = (1,1) sobre o subespaço W = [(1,3)] do R².

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A projeção de um vetor \(a\) sobre um vetor \(b\) é dada por:

\[\mbox{proj}_b a = \dfrac{a \cdot b}{||b||^2} \cdot b\]

E esta projeção nos diz qual é o valor do vetor a na direção de b.

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No nosso exercício possuímos um vetor e um subespaço definido por \([(1,3)]\), que também é um vetor. Com isso, podemos aplicar a definição de projeção vetorial de u sobre W. Assim, obtemos:

\[\eqalign{&\mbox{proj}_W u = \dfrac{u \cdot W}{||W||^2} \cdot W\\& \mbox{proj}_W u = \dfrac{ (1,1) \cdot (1,3)}{||(1,3)||^2} \cdot (1,3)\\& = \dfrac{(1\cdot 1 + 1\cdot3)}{\sqrt{1^2 + 3^2}^2} \cdot (1,3)\\& = \dfrac{(1 + 3)}{1 + 9} \cdot (1,3)\\& = \dfrac{4}{10} \cdot (1,3)\\& = (\dfrac{4}{10} \cdot 1, \dfrac{4}{10} \cdot 3)\\& = (\dfrac{4}{10},\dfrac{12}{10})}\]

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E assim, pela definição de projeção, manipulações e simplificações algébricas, encontramos o valor do vetor projeção como \(\eqalign{&\boxed{\\& \mbox{proj}_W u = (\dfrac{2}{5},\dfrac{6}{5})}}\).