Se o número de sócio de um clube hoje é 2000 E cresce 10% ao ano, quantos sócios esse clube terá em 3 anos?

Podemos calcular da seguinte fórmula:

Ano inicial: 2000

Primeiro ano: 2000 + 10% = 2000 + 200 = 2200

Segundo ano: 2200 + 10% = 2200 + 220 = 2420

Terceiro ano: 2420 + 10% = 2420 + 242 = 2662

Ou aplicando uma fórmula semelhante a Juros Compostos (M = C (1+i)t), onde M seria o total de pessoas após os 3 anos, C o valor inicial (2000), i o valor da porcentagem (em valor decimal) e t o tempo.

Teriamos:

M = 2000.(1+0,1)³

M = 2000.(1,1)³

M = 2000.1,331

M = 2662

Veja que a fórmula facilitaria no caso de ser um tempo muito grande, onde calcular ano a ano ficaria mais extenso. 

\[x_1 = 2000 \ \cdot 1,1 = 2200\]

\(x_2\), por sua vez, será igual aos 2200 sócios do clube ao final de 1 ano acrescidos do crescimento de \(10\)% correspondente ao segundo ano:

\[x_2 = 2200 \ \cdot 1,1 = 2420\]

Finalmente, \(x_3\) será o valor de sócios ao final do segundo ano, \(x_2\), acrescido do crescimento de \(10\)% correspondente ao terceiro ano:

\[x_3 = 2420 \ \cdot 1,1 = 2662\]

Podemos escrever uma fórmula geral para o problemas, dada por:

\[x_n = 2200 \ \cdot (1,1)^n\]

em que \(n\) corresponde ao ano que se deseja calcular o número de sócios.

Em resumo, temos que o clube terá 2662 sócios ao final de três anos.