Alguém poderia me ajudar nessa questão de taxa de variação?

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\[\begin{align} f_x(x,y,z) &= {\partial f(x,y,z) \over \partial x} \\ &= {\partial \Big(\sin(xyz)\Big) \over \partial x} \\ &= \cos(xyz) \cdot {\partial (xyz) \over \partial x} \\ &= \cos(xyz) \cdot yz \\ &= \cos\bigg({1 \over 2}\cdot {1 \over 3} \cdot \pi \bigg) \cdot {1 \over 3} \pi \\ &= \cos\bigg({\pi \over 6} \bigg) \cdot {\pi \over 3} \\ &= {\sqrt{3} \over 2} \cdot {\pi \over 3} \\ &= {\sqrt{3}\pi \over 6} \,\,\,\,(I) \end{align}\]

O valor de \(f_y(x,y,z)\) no ponto \(({1 \over 2},{1 \over 3},\pi)\) é:

\[\begin{align} f_y(x,y,z) &= {\partial f(x,y,z) \over \partial y} \\ &= {\partial \Big(\sin(xyz)\Big) \over \partial y} \\ &= \cos(xyz) \cdot {\partial (xyz) \over \partial y} \\ &= \cos(xyz) \cdot xz \\ &= \cos\bigg({1 \over 2}\cdot {1 \over 3} \cdot \pi \bigg) \cdot {1 \over 2} \pi \\ &= \cos\bigg({\pi \over 6} \bigg) \cdot {\pi \over 2} \\ &= {\sqrt{3} \over 2} \cdot {\pi \over 2} \\ &= {\sqrt{3}\pi \over 4} \,\,\,\,(II) \end{align}\]

O valor de \(f_z(x,y,z)\) no ponto \(({1 \over 2},{1 \over 3},\pi)\) é:

\[\begin{align} f_z(x,y,z) &= {\partial f(x,y,z) \over \partial z} \\ &= {\partial \Big(\sin(xyz)\Big) \over \partial z} \\ &= \cos(xyz) \cdot {\partial (xyz) \over \partial z} \\ &= \cos(xyz) \cdot xy \\ &= \cos\bigg({1 \over 2}\cdot {1 \over 3} \cdot \pi \bigg) \cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 3} \\ &= \cos\bigg({\pi \over 6} \bigg) \cdot {1 \over 6} \\ &= {\sqrt{3} \over 2} \cdot {1 \over 6} \\ &= {\sqrt{3} \over 12} \,\,\,\,(III) \end{align}\]

Pelas equações de \((I)\) a \((III)\), o vetor gradiente é:

\[\begin{align}\nabla f \bigg({1 \over 2},{1 \over 3},\pi \bigg) &= (f_x,f_y,f_z) \\ &= \bigg({\sqrt{3}\pi \over 6},{\sqrt{3}\pi \over 4},{\sqrt{3} \over 12} \bigg) \end{align}\]

Como o vetor \(\overrightarrow u= \bigg({1 \over \sqrt{3}},{1 \over \sqrt{3}},{1 \over \sqrt{3}} \bigg)\) já é unitário, pode-se calcular a taxa de variação \(D_uf(x,y,z)\).

\[\begin{align} D_uf(x,y) &= \hat u \cdot \nabla f \bigg({1 \over 2},{1 \over 3},\pi \bigg) \\ &=\bigg({1 \over \sqrt{3}},{1 \over \sqrt{3}},{1 \over \sqrt{3}} \bigg) \cdot \bigg({\sqrt{3}\pi \over 6},{\sqrt{3}\pi \over 4},{\sqrt{3} \over 12} \bigg) \\ &= {1 \over \sqrt{3}} \cdot {\sqrt{3} \pi \over 6} +{1 \over \sqrt{3}} \cdot {\sqrt{3} \pi \over 4} +{1 \over \sqrt{3}} \cdot {\sqrt{3} \over 12} \\ &= { \pi \over 6} +{\pi \over 4} +{1 \over 12} \\ &= { 2\pi \over 12} +{3\pi \over 12} +{1 \over 12} \\ &={5\pi +1 \over 12} \end{align}\]

A resposta encontrada não corresponde a nenhuma alternativa.

Concluindo, a taxa de variação de uma dada função é \(\boxed{D_uf(x,y,z)={5\pi+1 \over 12}}\).