URGENTE! POR FAVOR, ME AJUDEM?? Resolva as questões a seguir. a) log4 x . log2 x = 8 b) log8 x . log4 x . log2 x + -4/3 c) logx 4 + log2 x = 3

Oii, se eu entendi certo, em a) 4 e 2 são as bases do logarítmo, então podemos reescrever log4x como log(2^2)x, e existe uma regra que diz que podemos tirar esse expoente da base fazendo o inverso dele vezes o logarítmo. Logo

a) log4x.log2x=8

log(2^2)x.log2x=8

(1/2)log2x.log2x=8

(log2x)^2=16

log2x=4

x=2^4

x=16.

b)log8x.log4x.log2x = -4/3 (???) foi o que eu entendi

Seguindo a mesma lógica de escrever a base do logarítmo como uma potência e utilizando a propriedade:

log(2^3)x.log(2^2)x.log2x= -4/3

(1/3)log2x.(1/2)log2x.log2x= -4/3

[(Log2x)^3]/6 = -4/3

log2x=(-8)^1/3 (raiz cúbica)

log2x=-2

x=2^(-2)=1/4

c) logx4 +log2x =3  (aqui o x é base do primeiro logarítmo, então vamos ter de usar a propriedade de troca de base:  logBa = logxa/logxB), então:

log(4)/logx +logx/log2 =3

2(log2)^2 + (logx)^2 = 3logx.log2     (chame logx = y)

2(log2)2 +y^2 - 3log2y = 0      (Vamos calcular as raízes da equação do segundo grau)

delta: (-3log2)^2 - 8(log2)^2 = 9(log2)^2 -8(log2)^2 = (log2)^2

y1 = (3log2 + log2)/2 = 2log2 ------> y=logx    logx=2log2 -----> x=4

y2 = log2 ----------> log2 = logx  ------------> x=2

Os passos usados foram feitos utilizando propriedades de logarítmo e manipulações algébricas simples.

Espero ter ajudado!

\[\eqalign{ & {\text{log }}x{\text{ }}.{\text{ log}}2x = 8 \cr & {4^2} = {2^2} \cr & 16 = 16 \cr & x = 16 }\]

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Portanto, obtemos que \(\boxed{x = 16}\).

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b)

\[\eqalign{ & \log 8{\text{ }}x{\text{ }}.\log 4{\text{ }}x{\text{ }}.\log 2{\text{ }}x = \dfrac{{ - 4}}{3} \cr & \log \left( {8x + 4x + 2x} \right) = \dfrac{{ - 4}}{3} \cr & \log \left( {14x} \right) = \dfrac{{ - 4}}{3} \cr & x = \dfrac{1}{{{{10}^{1,73}}}} \cr & x = 0,01861 }\]

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Portanto, obtemos que \(\boxed{x = 0,01861}\).

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c)

\[\eqalign{ & \log {x^4} + {\text{ }}log2{\text{ }}x = 3 \cr & 4\log x + \log 2x = 3 \cr & x = {10^{\dfrac{{3 - \log _{10}^2}}{5}}} \cr & x = 3,4 }\]

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Portanto, obtemos que \(\boxed{x = 3,4}\).