Qual é o terceiro termo de uma P.A. na qual a soma do primeiro e quarto termos é 9 e a razão é igual a 4\/3 do primeiro termo?a) 5\/2b) 7\/3c) 9\/2d)

\[{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)r\]

Em que \(a_n\) é o termo que ocupa enésima posição; \(a_1\) o primeiro termo da P.A.; \(n\) o termo que deseja-se obter; e \(r\) a razão da P.A., isto é, a diferença entre os termos \(a_n\) e \(a_{n-1}\).

No problema em questão, temos que:

\[\eqalign{ & {a_1} + {a_4} = 9 \cr & {a_1} + {a_1} + \left( {4 - 1} \right) \cdot r = 9 \cr & 2{a_1} + 3r = 9 \cr & \cr & r = \dfrac{4}{3}{a_1} \cr & \cr & 2{a_1} + 3\left( {\dfrac{4}{3}{a_1}} \right) = 9 \cr & 2{a_1} + 4{a_1} = 9 \cr & 6{a_1} = 9 \cr & {a_1} = \dfrac{9}{6} \cr & \boxed{{a_1} = \dfrac{3}{2}} \cr & \cr & r = \dfrac{4}{3}{a_1} \cr & r = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cr & \boxed{r = 2} }\]

Logo:

\[\eqalign{ & {a_3} = \dfrac{3}{2} + \left( {3 - 1} \right) \cdot 2 \cr & = \dfrac{3}{2} + 2 \cdot 2 \cr & = \dfrac{3}{2} + 4 \cr & = \dfrac{{4 \cdot 2 + 3}}{2} \cr & = \dfrac{{11}}{2} }\]

Portanto, o terceiro termo da P.A. é \(\boxed{\dfrac{11}{2}}\) e, desse modo, a alternativa e) está correta.