Uma partícula sobre uma mola executa um MHS; quando ela passa pela posição de equilíbrio sua velocidade é v. O movimento da partícula é então

\[f= { \sqrt{k \over m} \over 2\pi}\]

Como a partícula e a mola são as mesmas para as duas velocidades, as frequências nos dois casos são iguais entre si. Ou seja, \(k\) e \(m\) se mantêm.

Portanto, a alternativa assinalada é a alternativa I - e) 1 permanecerá inalterado.

1. O deslocamento \(x(t)\) da partícula em função do tempo é o seguinte:


\[x(t)=d\cos\bigg( \sqrt{k \over m}\cdot t \bigg)\]


Portanto, a função de velocidade \(v(t)\) é:


\[\begin{align} v(t) &= { \partial x(t) \over \partial t} \\ &= { \partial \over \partial t}\bigg[ d\cos\bigg( \sqrt{k \over m}\cdot t \bigg) \bigg] \\ &= -d \sqrt{k \over m}\sin\bigg( \sqrt{k \over m}\cdot t \bigg) \\ \end{align}\]


Portanto, a intensidade de velocidade máxima da partícula é \(v_{max}=d\sqrt{k \over m}\).

A velocidade máxima ocorre quando a partícula passa pelo ponto de equilíbrio. Portanto, pelo enunciado, tem-se as seguintes equações:


\[\left\{ \begin{matrix} v_{max,1}=v \\ v_{max,2}=2v \end{matrix} \right.\]


Portanto, a relação entre \(d_1\) e \(d_2\) é:


\[\begin{align} {v_{max,2} \over v_{max,1} } &= {d_2\sqrt{k \over m} \over d_1\sqrt{k \over m}} \\ {2v \over v } &= {d_2 \over d_1 } \\ {d_2 \over d_1 } &= 2 \,\,\,\, (I) \end{align}\]


Portanto, a alternativa assinalada é a alternativa II - c) 2.

1. Conhecendo a função de velocidade \(v(t)\), a função de aceleração \(a(t)\) é:


\[\begin{align} a(t) &= { \partial v(t) \over \partial t} \\ &= { \partial \over \partial t} g[ -d \sqrt{k \over m}\sin\bigg( \sqrt{k \over m}\cdot t \bigg) g ] \\ &= -d \cdot {k \over m}\cos\bigg( \sqrt{k \over m}\cdot t \bigg) \\ \end{align}\]


Portanto, a intensidade de aceleração máxima da partícula é \(a_{max}=d\cdot {k \over m}\).

Pela equação \((I)\), a relação entre \(a_{max,1}\) e \(a_{max,2}\) é:


\[\begin{align} {a_{max,2} \over a_{max,1} } &= {d_2\cdot{k \over m} \over d_1\cdot {k \over m}} \\ &= {d_2 \over d_1} \\ &= 2 \end{align}\]


Portanto, a alternativa assinalada é a alternativa III - c) 2.

Concluindo, as alternativas assinaladas são: I - e) 1 permanecerá inalterado; II - c) 2; III - c) 2.