Ø=60º Resultado.
U=(2,1,-1) e V=(-1,1,2)
U*V=(2,1,-1)*(-1,1,2)=-3
|U|=raiz2²+1²+(-1)²=raiz6
|V|=raiz(-1)²+1²+(-2)²=raiz6
cos(Ø)=|na*ab|/|na|*|nb|= |(2,1,-1)*(-1,1,2)|/raiz6 * raiz6 = |3|/6 = 3/6
Ø=arc cos(3/6) = 60º
A alternativa que apresenta o valor correto para o ângulo entre α e β é a alternativa c).
Para calcularmos o ângulo entre dois planos, precisamos calcular o ângulo entre os vetores normais.
O vetor normal do plano α: 2x + y - z - 10 = 0 é u = (2,1,-1).
O vetor normal do plano β: -x + y + 2z + 55 = 0 é v = (-1,1,2).
O ângulo entre os vetores u e v é definido por: .
Calculando o produto interno entre u e v, obtemos:
<u,v> = 2.(-1) + 1.1 + (-1).2
<u,v> = -2 + 1 - 2
<u,v> = -3.
Calculando as normas dos vetores, obtemos:
||u||² = 2² + 1² + (-1)²
||u||² = 4 + 1 + 1
||u||² = 6
||u|| = √6
e
||v||² = (-1)² + 1² + 2²
||v||² = 1 + 1 + 4
||v||² = 6
||v|| = √6.
Assim:
cos(u,v) = 3/6
cos(u,v) = 1/2
Portanto, o arco cujo cosseno é 1/2 é 60º.
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
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