dados os planos a: 2x-y-6=0e b: -x-y+2z+45 = 0, marque a alternativa que apresenta o valor correto para a e b: A = 30° B = 60° C = 90° D = 120°

óçjlm

\[a: 2x-y+0z-6=0\Rightarrow \vec n_a=(2,-1,0)\]

\[b: -x-y+2z+45=0\Rightarrow \vec n_b=(-1,-1,2)\]

Como sabemos que o ângulo máximo que dois planos podem formar é o ângulo reto, vamos determinar apenas uma das funções trigonométricas, o cosseno, que é mais simples, a partir do produto escalar:

\[\cos\theta=\dfrac{\vec n_a\cdot\vec n_b}{|\vec n_a|\cdot|\vec n_b|}\]

Substituindo nossos dados, temos:

\[\cos\theta=\dfrac{(2,-1,0)\cdot(-1,-1,2)}{|(2,-1,0)|\cdot|(-1,-1,2)|}\]

\[\cos\theta=\dfrac{2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+0\cdot2}{\sqrt{2^2+(-1)^2+0^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}}\]

\[\cos\theta=\dfrac{-2+1+0}{\sqrt{4+1+0}\cdot\sqrt{1+1+4}}\]

\[\cos\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{30}}\]

Finalmente, lembrando que o sinal negativo indica apenas que calculamos o maior ângulo ao invés do menor, que deveria ser calculado, temos:

\[\boxed{\theta=\arccos\dfrac1{\sqrt{30}}}\]