(UERJ 2015) Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados.

\(P=l+l+l=3l\)

\(A=\dfrac{\dfrac{l\cdot l\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\)

\(Y=P-A\rightarrow Y=3l-\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\)

Observe que \(Y=3l-\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\) é uma equação quadrática. E por ser uma equação do 2º grau, o maior valor que Y assumirá é o próprio y vértice \((y_v)\) do gráfico de sua função. De fato, pois:

\(y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}=\dfrac{-\left(3^2-4\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)\cdot0\right)}{4\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)}=\dfrac{-9}{-\sqrt{3}}=\dfrac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

Sabendo que em um triângulo os lados são iguais, o perímetro é: \(P=3x\)

A área é: \(A={x^2. \sqrt 3 \over 4}\)

A diferença é: \(Y=P-A=3x-{x^2 \sqrt 3 \over 4}\)

O valor máximo é:

\(MAX={- \Delta \over 4a}={-9 \over -\sqrt 3}=3 \sqrt 3\)

Resposta: B