A soma dos elementos da matriz inversa de A=l 2 1l l 1 1l é?

Matemática

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Colegio Fazer Crescer

Henrique Leão

12/08/2019

💡 4 Respostas

Andre Smaira

02.10.2019

Vamos, primeiramente, calcular a matriz inversa

A^{-1}

\(A\)

. Ela é definida como sendo a matriz que, multiplicando

\(A\)

, resultará na matriz identidade:

$\begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

em que $\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} = A^{-1}$

Fazendo a multiplicação de matrizes:

$\begin{bmatrix}(2a+c) & (2b+d) \\(a+c) & (b+d) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

Podemos reescrever a equação matricial acima em um sistema de equações de primeira ordem, com $$4$$ equações e $$4$$ incógnitas:

$\begin{cases}2a+c = 1 \ (I)\\2b+d=0 \ (II) \\ a+c=0 \ (III) \\ b+d =1 \ (IV) \end{cases}$

Resolvendo o sistema, temos:

$\eqalign{&(III) : a+c = 0 \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ c = -a \\& em \ (I): 2a+c=1 \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2a+(-a)=1 \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a =1}$

$\eqalign{&\\& em \ (III) : c=-a \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c = -1}$

$\eqalign{&(IV) : \ \ \ b+d =1 \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d = 1-b \\& em \ (II): 2b+d=0 \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2b+(1-b)=0 \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b=-1}$

$\eqalign{&em \ (IV) : d = 1-b \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d = 2}$

Logo,

$A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\-1 & 2 \end{bmatrix}$

A soma de seus elemento será, então:

$\eqalign{&a+b+c+d =1-1-1+2 \\& \ \ =1}$