Mostre que para toda matriz A, n x n, A + A^t é simétrica e A - A^t é anti-simétrica.

• \(a_{ij}\): elemento da linha \(i\) e coluna \(j\)
• \(A^t\): matriz transposta, aquela em que \(a^t_{ij}=a_{ji}\)
• Matriz simétrica: \(a_{ij}=a_{ji}\)
• Matriz anti-simétrica: \(a_{ij}=-a_{ji}\)

Dessa forma, vamos à primeira demonstração:

\[X=A+A^t\text{ é simétrica}\]

Vamos determinar o valor de cada elemento de \(X\):

\[x_{ij}=a_{ij}+a^t_{ij}\]

Usando a definição de matriz transposta, temos:

\[x_{ij}=a_{ij}+a_{ji}\]

Mas:

\[x_{ji}=a_{ji}+a_{ij}=a_{ij}+a_{ji}=x_{ij}\Rightarrow \boxed{x_{ij}=x_{ji}}\]

Portanto \(X=A+A^t\) é simétrica.

Agora vamos à segunda demonstração:

\[Y=A-A^t\text{ é anti-simétrica}\]

Vamos determinar o valor de cada elemento de \(Y\):

\[y_{ij}=a_{ij}-a^t_{ij}\]

Usando a definição de matriz transposta, temos:

\[y_{ij}=a_{ij}-a_{ji}\]

Mas:

\[y_{ji}=a_{ji}-a_{ij}=-(a_{ij}-a_{ji})=-y_{ij}\Rightarrow \boxed{y_{ij}=-y_{ji}}\]

Portanto \(Y=A-A^t\) é anti-simétrica.