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escreva a equação do plano que passa pelo ponto P=(2,1,-1),sabendo que o vetor v=(1,-2,3)é normal ao plano


4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para começar, lembramos que para determinar a equação de um plano que seja normal a um dado vetor, basta usarmos essa propriedade:


\[\vec v\perp\vec p\]

onde \(\vec p\)é um vetor pertencente ao plano. Sabendo que temos um ponto \(P\)pertencente ao plano, todos os vetores do espaço podem ser escritos como:


\[\vec u=\vec r-\vec P=(x-x_P,y-y_P,z-z_P)\]

Particularmente os que pertencem ao plano são perpendiculares a \(\vec v\):


\[\vec v\cdot\vec u=0\Rightarrow (1,-2,3)\cdot(x-2,y-1,z+1)=0\]

Efetuando o produto escalar, temos:


\[1\cdot(x-2)-2\cdot(y-1)+3\cdot(z+1)=0\]


\[(x-2)+(-2y+2)+(3z+3)=0\]


\[\boxed{x-2y+3z+3=0}\]

Para começar, lembramos que para determinar a equação de um plano que seja normal a um dado vetor, basta usarmos essa propriedade:


\[\vec v\perp\vec p\]

onde \(\vec p\)é um vetor pertencente ao plano. Sabendo que temos um ponto \(P\)pertencente ao plano, todos os vetores do espaço podem ser escritos como:


\[\vec u=\vec r-\vec P=(x-x_P,y-y_P,z-z_P)\]

Particularmente os que pertencem ao plano são perpendiculares a \(\vec v\):


\[\vec v\cdot\vec u=0\Rightarrow (1,-2,3)\cdot(x-2,y-1,z+1)=0\]

Efetuando o produto escalar, temos:


\[1\cdot(x-2)-2\cdot(y-1)+3\cdot(z+1)=0\]


\[(x-2)+(-2y+2)+(3z+3)=0\]


\[\boxed{x-2y+3z+3=0}\]

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Marcus Breguêz Verified user icon

Há mais de um mês

Lembrando que a equação geral do plano é:

ax + by + cz + d = 0, (a,b,c) é o vetor diretor do plano, que é normal ou perpendicular ao plano;

                                  (x,y,z) um ponto qualquer que pertence ao plano e "d" é o parâmetro de inclinação.

Substituindo os valores ofertados no enunciado na equação geral, para encontrar d:

  • (-1).2 +(-2).1 +3.(-1) + d = 0, resolvendo a equação:
  • d = 7

Portanto a equação geral do plano será:

1x - 2y +3z +7 = 0

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas