Seja T um tetraedro regular e considere um plano que passa pelos pontos médios das três arestas que formam um dos vértices deT. Este plano divide T em

Seja T um tetraedro regular e considere um plano que passa pelos pontos médios das três arestas que formam um dos vértices de T. Este plano divide T em dois poliedros, sendo um deles um tetraedro regular que chamaremos de t. Analogamente, considerando outros três planos relativamente a cada um dos outros vértices do tetraedro, é possível decompor T em quatro tetraedros regulares iguais a t e mais um poliedro, que chamaremos de P. Responda justificando: a) Qual é a forma do poliedro P? b) Qual é a razão entre o volume de T e o volume de t? c) Qual é a razão entre o volume de P e o volume de t?

Matemática

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Colegio Fazer Crescer

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José Santana

29/08/2019

💡 4 Respostas

Gabriel Duck

02.09.2019

Também to esperando

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Andre Smaira

02.10.2019

a) Temos seis vértices (os pontos médios de cada uma das arestas) e seis faces que são triângulos equiláteros (bases dos tetraedros iguais a t e ele mesmo e faces do tetraedro original), dessa forma P é formado por duas pirâmides de base quadrada, sendo um octaedro regular.

b) Por construção, as dimensões lineares de t tem metade do tamanho das dimensões lineares de T, de forma que a dimensão volumétrica (ou cúbica) é:

$\dfrac{V_T}{V_t}=\left(\dfrac{L_T}{L_t}\right)^3=2^3$

$\boxed{\dfrac{V_T}{V_t}=8}$

c) Lembrando que temos quatro tetraedros iguais a t:

$\[V_T=4V_t+V_P\]$

Dividindo por $$V_t$$ , temos:

$\dfrac{V_T}{V_t}=4+\dfrac{V_P}{V_t}$

Substituindo o valor obtido no item b), temos:

$8=4+\dfrac{V_P}{V_t}$

$\boxed{\dfrac{V_P}{V_t}=4}$

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