Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere, para cada número real m, a reta de equação y = mx e a circunferência de equação x^2+y^2

1. Primeira sentença: A medida do raio da circunferência é 5.

A equação \((x-x_0)^2+(y- y_0)^2= r^2\) corresponde a um circunferência de centro \((x_0,y_0)\) e raio \(r\). Manipulando a equação \(x^2+ y^2-10x = 0\), tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ x^2+ y^2-10x &= 0 \cr x^2-10x+y^2 &= 0 \cr x^2-10x+5^2+y^2 &= 5^2 \cr (x-5)^2+y^2 &= 5^2 \cr }\]

Ou seja, a equação \(x^2+ y^2-10x = 0\) corresponde a um circunferência de centro \((5,0)\) e raio \(5\).

Portanto, a primeira sentença é correta.

1. Segunda sentença: Se m=10, a reta é tangente à circunferência.

Substituindo a reta \(y=10x\) em \(x^2+ y^2-10x = 0\), tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ x^2+ y^2-10x &= 0 \cr x^2+ (10x)^2-10x &= 0 \cr x^2+ 100x^2-10x &= 0 \cr 101x^2-10x &= 0 \cr x\cdot (101x-10) &= 0 \\ }\]

Para a equação \(y=10x\) ser tangente à curva \(x^2+ y^2-10x = 0\), a equação anterior devia obrigatoriamente possuir apenas uma solução. Porém, como \(x=0\) e \(x={10 \over 101}\) são soluções da equação, a segunda sentença é _errada_.

1. Terceira sentença: Qualquer que seja o valor de m, a reta contém a origem do sistema.

Na reta \(y=mx\), para todo valor de \(m\), o ponto \((0,0)\) atende à equação. Portanto, a terceira sentença é _correta_.

1. Quarta sentença: Se m=1, a reta determina na circunferência uma corda de comprimento 5.

Substituindo a reta \(y=x\) em \(x^2+ y^2-10x = 0\), tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ x^2+ y^2-10x &= 0 \cr x^2+ (x)^2-10x &= 0 \cr x^2+ x^2-10x &= 0 \cr 2x^2-10x &= 0 \cr x\cdot (2x-10) &= 0 \to \left\{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=5 \end{matrix} \right. }\]

Substituindo \(x_1\) e \(x_2\) em \(y=x\), os pontos de interseção entre a reta e a curva são:

\[\left\{ \begin{matrix} (x_1,y_1)=(0,0) \\ (x_2,y_2)=(5,5) \end{matrix} \right.\]

Portanto, a distância \(d\) entre esses pontos é:

\[\eqalign{ d&= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\ &= \sqrt{(5-0)^2+(5-0)^2}\\ &=\sqrt{5^2+5^2}\\ &= 5\sqrt{2} }\]

Como o valor de \(d\) é diferente de \(5\), a quarta sentença é _errada_.

1. Quinta sentença: A circunferência é tangente ao eixo y.

O eixo \(y\) corresponde a \(x=0\). Portanto, o valor correspondente de \(y\) é:

\[\eqalign{ x^2+ y^2-10x &= 0 \cr 0^2+ y^2-10\cdot 0 &= 0 \\y^2 &= 0 \\ y&=0 }\]

Portanto, no eixo y, o único ponto pelo qual a curva passa é o ponto \((0,0)\). Como há um único ponto no eixo y, a quinta sentença é _correta_.

1. Sexta sentença: Se m=3, um dos pontos de interseção da reta com a circunferência é (1, 3).

Substituindo a reta \(y=3x\) em \(x^2+ y^2-10x = 0\), tem-se o seguinte:

\[\eqalign{ x^2+ y^2-10x &= 0 \cr x^2+ (3x)^2-10x &= 0 \cr x^2+ 9x^2-10x &= 0 \cr 10x^2-10x &= 0 \cr 10x\cdot (x-1) &= 0 \to \left\{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=1 \end{matrix} \right. }\]

Substituindo \(x_1\) e \(x_2\) em \(y=3x\), os pontos de interseção entre a reta e a curva são:

\[\left\{ \begin{matrix} (x_1,y_1)=(0,0) \\ (x_2,y_2)=(1,3) \end{matrix} \right.\]

Como um dos pontos encontrados é igual a \((1,3)\), a sexta sentença é _correta_.

Concluindo, as sentenças corretas são:

• A medida do raio da circunferência é 5.
• Qualquer que seja o valor de m, a reta contém a origem do sistema.
• A circunferência é tangente ao eixo y.
- Se m=3, um dos pontos de interseção da reta com a circunferência é (1, 3).