Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos O(0,0) e A(8,0). A equação do conjunto dos pontos P(x,y) desse plano sabendo...

Para encontrar a equação do conjunto dos pontos P(x,y) que satisfazem a condição dada, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos: d(P, O) = 3 * d(P, A) onde d(P, O) é a distância entre P e O, e d(P, A) é a distância entre P e A. Usando a fórmula da distância, temos: d(P, O) = sqrt((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = sqrt(x^2 + y^2) d(P, A) = sqrt((x - 8)^2 + (y - 0)^2) = sqrt((x - 8)^2 + y^2) Substituindo na equação d(P, O) = 3 * d(P, A), temos: sqrt(x^2 + y^2) = 3 * sqrt((x - 8)^2 + y^2) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: x^2 + y^2 = 9 * ((x - 8)^2 + y^2) Simplificando, temos: x^2 + y^2 = 9x^2 - 144x + 513 8x^2 + 144x + y^2 - 513 = 0 Completando o quadrado, temos: 8(x^2 + 18x + 81) + y^2 - 513 - 8 * 81 = 0 8(x + 9)^2 + y^2 - 945 = 0 Dividindo ambos os lados por -945, temos: (x + 9)^2/118 - y^2/945 = 1 Comparando com as equações padrão, podemos ver que essa é a equação de uma hipérbole com centro em (-9, 0), eixo real de comprimento 2 * sqrt(118), e eixo imaginário de comprimento 2 * sqrt(945). Além disso, os focos da hipérbole estão nos pontos (-15, 0) e (-3, 0). Portanto, a alternativa correta é a letra c) hipérbole de focos (3,0) e (15,0), e eixo real 6.