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51- Dez cartas são extraídas aleatoriamente de um baralho usual de 52 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de copas ?

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Bráulio Braga

10/52 tendo em vista que o baralho tenha 10 cartas de copa.

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Andre Smaira

Primeiro vamos lembrar que a cada carta retirada, temos um conjunto universo menor, de forma que no começo temos 13 cartas de copas de um total de 52, na segunda carta retirada, temos 12 de um total de 51, etc. Dessa forma temos o seguinte:


\[P=\dfrac{13}{52}\cdot\dfrac{12}{51}\cdots\dfrac{4}{43}\]

Outra forma de escrever, usando operação fatorial, é:


\[P=\left.{\dfrac{13!}{3!}}\right/{\dfrac{52!}{42!}}\]

Vamos simplificar aos poucos expandindo o fatorial e simplificando os fatores:


\[\eqalign{P&=\left.{\dfrac{\require{cancel}\cancel{13}\cdot12!}{3\cdot2!}}\right/{\dfrac{\require{cancel}\cancelto{4}{52}\cdot51!}{42\cdot41!}}\cr &=\left.{\dfrac{\require{cancel}\cancel{12}\cdot11!}{\require{cancel}\cancel3\cdot2!}}\right/{\dfrac{\require{cancel}\cancel4\cdot51!}{42\cdot41!}}\cr &=\left.{\dfrac{11\cdot10!}{\require{cancel}\cancel2\cdot1!}}\right/{\dfrac{51\cdot50!}{\require{cancel}\cancelto{21}{42}\cdot41!}}\cr &=11\cdot10!\left/{\dfrac{\require{cancel}\cancelto{17}{51}\cdot50!}{\require{cancel}\cancelto{7}{21}\cdot41!}}\right.\cr &=11\cdot\require{cancel}\cancelto{2}{10}\cdot9!\left/{\dfrac{17\cdot\require{cancel}\cancel{50}\cdot49!}{7\cdot41\cdot\require{cancel}\cancelto{4}{40}\cdot39!}}\right.\cr &=11\cdot\require{cancel}\cancel2\cdot9!\left/{\dfrac{17\cdot\require{cancel}\cancelto{7}{49}\cdot\require{cancel}\cancelto{6}{48}\cdot47!}{\require{cancel}\cancel7\cdot41\cdot\require{cancel}\cancel4\cdot39!}}\right.\cr &=11\cdot\require{cancel}\cancelto39\cdot8!\left/{\dfrac{17\cdot7\cdot\require{cancel}\cancel6\cdot47!}{41\cdot39\cdot\require{cancel}\cancelto{19}{38}\cdot37!}}\right.\cr &=11\cdot3\cdot8\cdot\require{cancel}\cancel7\cdot6!\left/{\dfrac{17\cdot\require{cancel}\cancel7\cdot47\cdot46!}{41\cdot39\cdot19\cdot37!}}\right.\cr &=11\cdot3\cdot\require{cancel}\cancelto48\cdot6!\left/{\dfrac{17\cdot47\cdot\require{cancel}\cancelto{23}{46}\cdot45!}{41\cdot39\cdot19\cdot37!}}\right.\cr &=11\cdot\require{cancel}\cancel3\cdot4\cdot\require{cancel}\cancelto26\cdot5!\left/{\dfrac{17\cdot47\cdot23\cdot\require{cancel}\cancelto5{45}\cdot44\cdot43!}{41\cdot39\cdot19\cdot37\cdot36\cdot35!}}\right.\cr &=11\cdot\require{cancel}\cancel4\cdot2\cdot\require{cancel}\cancel5\cdot4!\left/{\dfrac{17\cdot47\cdot23\cdot\require{cancel}\cancel5\cdot\require{cancel}\cancelto{11}{44}\cdot43!}{41\cdot39\cdot19\cdot37\cdot36\cdot35!}}\right.\cr &=\require{cancel}\cancel{11}\cdot\require{cancel}\cancel2\cdot4\cdot\require{cancel}\cancel3\cdot2\cdot1!\left/{\dfrac{17\cdot47\cdot23\cdot\require{cancel}\cancel{11}\cdot43\cdot\require{cancel}\cancelto{7}{42}\cdot41!}{41\cdot39\cdot19\cdot37\cdot36\cdot35!}}\right.\cr &=\require{cancel}\cancel{4\cdot2}\left/{\dfrac{17\cdot47\cdot23\cdot43\cdot7\cdot41\cdot\require{cancel}\cancelto5{40}\cdot\require{cancel}\cancel{39}\cdot38!}{41\cdot\require{cancel}\cancel{39}\cdot19\cdot37\cdot36\cdot35!}}\right.\cr &=1\left/{\dfrac{17\cdot47\cdot23\cdot43\cdot7\cdot41\cdot5\cdot38\cdot\require{cancel}\cancel{37\cdot36\cdot35!}}{41\cdot19\cdot\require{cancel}\cancel{37\cdot36\cdot35!}}}\right.\cr &=\dfrac{\require{cancel}\cancel{41}\cdot\require{cancel}\cancel{19}}{17\cdot47\cdot23\cdot43\cdot7\cdot\require{cancel}\cancel{41}\cdot5\cdot\require{cancel}\cancelto2{38}}\cr &=\dfrac{1}{17\cdot47\cdot23\cdot43\cdot7\cdot10}}\]

Então:


\[\boxed{P=\dfrac1{55314770}\approx1,8\cdot10^{-8}}\]

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