30- Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 8 azuis. Extraem-se cinco ao acaso , sem reposição. determinar a probabilidade de serem 3 vermelhas e 2 azuis.

Vejamos,

6 bolas pretas
8 bolas azuis

Um total de 14 bolas.

A chance de pegar 1 vermelha em 16 = 6/14

Ja que é sem reposição, vai caindo o universo de bolas e uma da cor que retiramos.

Outra vermelha = 5/13
Outra vermelha = 4/12

Agora uma azul = 8/11
Outra azul = 7 /10

Multiplica-se tudo (3/14)*(2/13)*(1/12)*(8/11)*(7/10)

Por enquanto tempos 2,8%

Mas não vai importar a ordem que tirar-mos a bola, então vejamos

VVVAA

Usamos uma permutação pra ver quantas ordens diferentes conseguimos ter aí. São 5 letras, lembrando que V(vermelhor) repete 3 vezes e A(azul) repete 2:

P(5) = 5!/3!2! = 10

Resultado:

10*0,028 = 0,28

28% (Resposta final)

Pelo princípio da contagem vamos ter que o evento de retirarmos 3 vermelhas e 2 azuis (chamaremos de evento \(R\)) ocorre de \({C_{6,3}} \cdot {C_{8,2}}\)maneiras diferentes.

Como queremos a probabilidade desse evento ocorrer, precisamos saber também quais são todas as combinações possíveis na extração de 5 bolas, o que será nosso conjunto universo no exercício. Esse valor será dado pela combinação de 14 bolas tomadas 5 a 5, logo \(C_{14,5}\)

A probabilidade de \(R\)ocorrer(\(P(R)\)) então é dada por:

\[\eqalign{ & P(R) = \dfrac{{{C_{6,3}} \cdot {C_{8,2}}}}{{{C_{14,5}}}} \cr & P(R) = \dfrac{{\dfrac{{6!}}{{3!3!}} \cdot \dfrac{{8!}}{{2!6!}}}}{{\dfrac{{14!}}{{5!9!}}}} \cr & P(R) = \dfrac{{4838400}}{{120960 \cdot 13 \cdot 11}} \cr & P(R) = \dfrac{{40}}{{143}} }\]

Portanto \(\boxed{P(R) = \dfrac{{40}}{{143}}}\)