(Fuvest-SP) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a raiz de 2 . Se o produto dos termos dessa progressão é 2^39, então

\[{S_n} = \dfrac{{{a_1} \cdot \left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\]

Em que \(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos, \(a_1\) é o primeiro termo e \(q\) é a razão.

Substituindo os dados fornecidos pelo enunciado na equação e isolando \(n\), resulta que:

\[\eqalign{ & {2^{39}} = \dfrac{{1 \cdot \left( {{{\sqrt 2 }^n} - 1} \right)}}{{\sqrt 2 - 1}} \cr & {2^{39}} = \dfrac{{{{\sqrt 2 }^n} - 1}}{{\sqrt 2 - 1}} \cr & {2^{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1 + n} \right) \cdot \dfrac{n}{2}}} = {2^{39}} \cr & \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1 + n} \right) \cdot \dfrac{n}{2} = 39 \cr & \dfrac{n}{4} + \dfrac{{{n^2}}}{4} = 39 \cr & n + {n^2} = 156 \cr & {n^2} + n - 156 = 0 \cr & \cr & n = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {{1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 156} \right)} }}{{2 \cdot 1}} \cr & n = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {{1^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 156} \right)} }}{2} \cr & n = \dfrac{{ - 1 \pm 25}}{2} \cr & n' = 12 \cr & n'' = - 13 }\]

Portanto, a P.G. tem \(12\) termos e a alternativa a) está correta.