(Ita 95) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três

Question

(Ita 95) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 2
e) 1/2

Andre Smaira · Answer

Temos uma progressão geométrica dada por

\{0,3;0,03;0,003;...\}

. Para realizar o exercício, primeiro precisamos obter a fórmula do termo geral dessa progressão, dada por

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

. Se

\(a_1=0,3\)

, temos

a_2=0,03=0,3\cdot q

, logo,

\(q=0,1\)

.

A soma dos termos da PG de $$n$$ elementos é dada por $S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$ . Como $-1\lt q\lt 1$ , temos que quanto $n\rightarrow\infty$ , $q^n\rightarrow 0$ . Logo, a soma dos termos de uma PG infinita é $S_n=\dfrac{a_1}{1-q}$ . Assim, temos que $S_n=\dfrac{0,3}{0,9}=\dfrac13$ .

Essa soma é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, ou seja, na PA $\{a_2;a_2;a_3\}$ , temos $a_2=\dfrac13$ . Em uma PA, o termo médio é igual à média entre os extremos. Assim, $\dfrac{a_1+a_3}2=\dfrac13\Rightarrow a_1+a_3=\dfrac23$ . A soma dos termos dessa PA será então $a_1+a_2+a_3=\dfrac13+\dfrac23=1$ .

Portanto, a alternativa correta é a letra (c).

0

Jorge · Answer

d

(Ita 95) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três

Matemática

Colegio Fazer Crescer

💡 2 Respostas

d

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

✏️ Responder

Outros materiais

Perguntas relacionadas

1) Uma Progressão Aritmética tem 23 termos, a soma dos três termos intermediários desta progressão aritmética é 720, e a soma dos três últimos termos

Temos uma progressão aritmética (P.A) de 20 termos onde o 1° termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética e 480. O décimo

Calcular o 1º termo e a diferença de uma progressão aritmética de 17 termos, na qual o ultimo termo é 4,8 e a soma dos termos é 47,6.a) 0,4 e 0,12b) 0

Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos

Outros materiais