(Ita 95) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 2
e) 1/2
Respostas
Andre Smaira
há 6 anos
A soma dos termos da PG de \(n\) elementos é dada por \(S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}\). Como \(-1\lt q\lt 1\), temos que quanto \(n\rightarrow\infty\), \(q^n\rightarrow 0\). Logo, a soma dos termos de uma PG infinita é \(S_n=\dfrac{a_1}{1-q}\). Assim, temos que \(S_n=\dfrac{0,3}{0,9}=\dfrac13\).
Essa soma é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, ou seja, na PA \(\{a_2;a_2;a_3\}\), temos \(a_2=\dfrac13\). Em uma PA, o termo médio é igual à média entre os extremos. Assim, \(\dfrac{a_1+a_3}2=\dfrac13\Rightarrow a_1+a_3=\dfrac23\). A soma dos termos dessa PA será então \(a_1+a_2+a_3=\dfrac13+\dfrac23=1\).
Portanto, a alternativa correta é a letra (c).
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