(Ufpr 95) Considere a matriz A = [aij], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir. 1, se i diferente j aij= 0, se i=j É correto afirmar que

\[\eqalign{ A &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \\ }\]

De acordo com a matriz A, tem-se \(a_{23}=1\) e \(a_{32}=1\). Portanto, a sentença 01 é _correta_.

1. 02) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.

De acordo com a matriz A, tem-se \(a_{11}= a_{22} = a_{33} = a_{44}=0\). Portanto, a sentença 02 é _correta_.

1. 04) O determinante da matriz A é igual a - 4.

Realizando os cálculos, o determinante de A é:

\[\eqalign{ \det (A) &= \det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \\ &= 0\cdot \det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} - 1\cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} + 1\cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} - 1\cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} \\ &= 0 - (1\cdot 0\cdot 0+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1-1\cdot 1\cdot 0-1\cdot 1\cdot 1) + \\&\,\,\,\,\,\,+ 1\cdot (1\cdot 1\cdot 0+0\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 0-1\cdot 1\cdot 1) - 1\cdot (1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 0\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot 1-0\cdot 1\cdot 1-1\cdot 0\cdot 1) \\ &= 0 - (0+1+1-0-0-1) + (0+0+1-1-0-1) - (1+0+1-1-0-0) \\ &= 0 - (1) + (-1) - (1) \\ &= 0-1-1-1 \\ &= -3 }\]

Como \(\det(A)=-3\) e não igual a \(-4\), a sentença 04 é _errada_.

1. 08) Se a matriz B é [1 -1 1 -1], então o produto B.A é a matriz -B.

Realizando os cálculos, o produto \(B\cdot A\) é:

\[\eqalign{ B\cdot A &= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (1\cdot0-1\cdot1+1\cdot1-1\cdot1) & (1\cdot1-1\cdot0+1\cdot1-1\cdot1) & (1\cdot1-1\cdot1+1\cdot0-1\cdot1) & (1\cdot1-1\cdot1+1\cdot1-1\cdot0) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (0-1+1-1) & (1-0+1-1) & (1-1+0-1) & (1-1+1-0) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\\ &= -B }\]

Portanto, a sentença 08 é correta.

1. 16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1.

Com \(I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\), a operação \(A+I\) é:

\[\eqalign{ A +I&=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} }\]

Como a matriz resultante possui todos os elementos iguais a \(1\), a sentença 16 está _correta_.

Somando os números das sentenças corretas, o resultado é \(01+02+08+16=27\).

Soma: \(\boxed{27}\).