(Vunesp 94) Sejam a, b e c três números reais estritamente positivos e tais que a

\[\eqalign{ & b = a \cdot {q^{(2 - 1)}} \cr & b{\text{ }} = {\text{ }}a \cdot q }\]

Também temos que:

\[\eqalign{ & c = a \cdot {q^{(3 - 1)}} \cr & c = a \cdot {q^2} }\]

Dessa forma, teremos:

\[\eqalign{ & a < aq + a{q^2} \cr & a - aq - a{q^2} < 0 \cr & - a{q^2} - aq + a < 0( - 1) \cr & a{q^2} + aq - a > 0 \cr & a({q^2} + q - 1) > 0 \cr & {q^2} + q - 1 > 0 }\]

Assim provamos o primeiro item. Para o segundo item, teremos que:

\[\eqalign{ & \Delta = {b^2} - 4ac \cr & \Delta = 1{\text{ }} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 \cr & \Delta = 5 }\]

\[\eqalign{ & q{\text{ }} > {\text{ }}\dfrac{{ - b{\text{ }} + {\text{ }}\sqrt \Delta }}{{2a}} \cr & q > \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} }\]

E está provado o segundo.