Calcule a distância do ponto P = ( 1, 0, 2) a reta r: ( 1, 0, 1) + ( 2, 0, 1 )t.

Equação vetorial da reta

(x,y,z)=(1,0,2) + t *(-2,2,-1) ...t ∈ Reais

V=(-2,2,-1) é o vetor diretor da reta

Q é um ponto qualquer da reta, fazendo

fazendo t=0 ==> Q=(1,0,2)

P=(1,2,3) é o ponto do texto

Encontrando o vetor QP=(1-1,2-0,3-2)=(0,2,1)

Produto vetorial V x QP

 x     y       z      x       y

 0     2      1      0       2

-2     2    -1      -2       2

det= -2x-2y-2x+4z =-4x-2y+4z ==>(-4,-2,4)

|V x QP| = √[(-4)²+(-2)²+4²] = √36=6

|V|= √[(-2)²+2²+(-1)²]= √(4+4+1)= √9=3

distância = |V x QP| / |V| =6/3=2

b) 
vou fazer a distância entre o ponto P e o eixo x ...( o Método é o mesmo)

eixo x:

Equação vetorial da reta 

(x,y,z) =(0,0,0) + t *(1,0,0)   ...t ∈ Reais

V=(1,0,0) é o vetor da reta

Q é um ponto qualquer da reta
fazendo t=0 ==> (0,0,0)

P=(1,2,3) é o ponto do texto

Encontrando o vetor QP=(1,2,3)

Produto vetorial V x QP 

   x     y    z    x     y 
   1     2    3   1     2 
   1     0    0   1     0 

det=3y-2z ==> (0,3,-2)

|V x QP| = √[(0)²+(3)²+(-2)²] = √13 

|V|= √[(1)²+0²+0²]= 1

distância = |V x QP| / |V| =√13/1=√13

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A equação da reta é:

\(x=1+2t\\ y=0\\ z=1+t\\ t=z-1\\ x=1+2z-2\\ x-2z+1=0\)

A distância é:

\(d={|1+0-2.2| \over \sqrt {1^2+2^2+0^2}}\\ d={3 \sqrt \over 5}\)