Determine a distância do ponto P (−2, 1, 2) à reta determinada pelos pontos A(1, 2, 1) e B(0, −1, 3)

Para determinar a distância do ponto \( P(-2, 1, 2) \) à reta determinada pelos pontos \( A(1, 2, 1) \) e \( B(0, -1, 3) \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar o vetor diretor da reta: O vetor \( \vec{AB} \) é dado por: \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1, -1 - 2, 3 - 1) = (-1, -3, 2) \] 2. Encontrar o vetor \( \vec{AP} \): O vetor do ponto \( A \) até o ponto \( P \) é: \[ \vec{AP} = P - A = (-2 - 1, 1 - 2, 2 - 1) = (-3, -1, 1) \] 3. Calcular o produto vetorial \( \vec{AP} \times \vec{AB} \): \[ \vec{AP} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ = \hat{i}((-1)(2) - (1)(-3)) - \hat{j}((-3)(2) - (1)(-1)) + \hat{k}((-3)(-3) - (-1)(-1)) \] \[ = \hat{i}(-2 + 3) - \hat{j}(-6 + 1) + \hat{k}(9 - 1) \] \[ = \hat{i}(1) - \hat{j}(-5) + \hat{k}(8) = (1, 5, 8) \] 4. Calcular a norma do produto vetorial: \[ ||\vec{AP} \times \vec{AB}|| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 25 + 64} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \] 5. Calcular a norma do vetor \( \vec{AB} \): \[ ||\vec{AB}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \] 6. Calcular a distância \( d \): \[ d = \frac{||\vec{AP} \times \vec{AB}||}{||\vec{AB}||} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{10 \cdot 14}}{14} = \frac{3\sqrt{140}}{14} = \frac{3\sqrt{10}}{7} \] Portanto, a distância do ponto \( P \) à reta é \( \frac{3\sqrt{10}}{7} \).