Determine a distância do ponto P (−2, 1, 2) à reta determinada pelos pontos A(1, 2, 1) e B(0, −1, 3)

Para determinar a distância do ponto P à reta AB, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiramente, precisamos encontrar um ponto na reta AB mais próximo do ponto P. Esse ponto é a projeção ortogonal de P sobre a reta AB. Para encontrar a projeção ortogonal, podemos utilizar o vetor diretor da reta AB e o vetor que liga o ponto P a um ponto qualquer da reta AB. Assim, temos: Vetor diretor da reta AB: AB = B - A = (0, -1, 3) - (1, 2, 1) = (-1, -3, 2) Vetor que liga o ponto P a um ponto qualquer da reta AB: AP = P - A = (-2, 1, 2) - (1, 2, 1) = (-3, -1, 1) Para encontrar a projeção ortogonal de P sobre AB, basta projetar o vetor AP sobre o vetor AB. Temos: projeção de AP sobre AB = (AP . AB / |AB|^2) * AB onde "." representa o produto escalar e "|" representa o módulo do vetor. Substituindo os valores, temos: projeção de AP sobre AB = ((-3)*(-1) + (-1)*(-3) + 1*2) / ((-1)^2 + (-3)^2 + 2^2) * (-1, -3, 2) = (-1/2, -3/2, 1) Assim, o ponto mais próximo de P na reta AB é Q = A + projeção de AP sobre AB = (1, 2, 1) + (-1/2, -3/2, 1) = (1/2, 1/2, 2) A distância entre P e Q é a distância procurada. Podemos calcular utilizando a fórmula da distância entre dois pontos: distância entre P e Q = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = sqrt((1/2 - (-2))^2 + (1/2 - 1)^2 + (2 - 2)^2) = sqrt(29)/2 Portanto, a distância do ponto P à reta AB é sqrt(29)/2.