Equação geral do plano

Encontre uma equação geral para o plano perpendicular ao vetor N = (−1, 4, 3) que passa pelo ponto (5, −2, 7). Encontre uma equação geral para o plano perpendicular a este mesmo vetor, mas que passa pelo ponto (0, 0, 0).

Geometria Analítica

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ESTÁCIO

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3

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Maxsuel Gomes

25/09/2019

💡 2 Respostas

Andre Smaira

12.10.2019

Seja um ponto A pertencente ao plano cujas coordenadas são

\left(x,y,z\right)

Sendo assim, o vetor

\vec v

formado pela subtração entre as coordenadas do ponto A e do ponto

\left( 5,-2,7\right)

pertence ao plano. Assim:

$\vec v = \left( {x - 5,y - \left( { - 2} \right),z - 7} \right) = \left( {x - 5,y + 2,z - 7} \right)$

Como o vetor $\vec N$ é perpendicular ao plano, então $\vec N$ é perpendicular a qualquer vetor pertencente ao plano, inclusive $\vec v$ Assim, da definição de produto escalar:

$\vec N \cdot \vec v = 0 \Rightarrow \left( { - 1,4,3} \right) \cdot \left( {x - 5,y + 2,z - 7} \right) = 0$

Por fim, a equação do plano é:

$\[- x + 4y + 3z - 8 = 0\]$

Caso o plano passe pelo ponto $\left(0,0,0 \right)$ o procedimento a ser seguido é o mesmo e o resultado só terá diferença no termo independente que, nesse caso, será nulo. Assim, a nova equação geral do plano é:

$\[- x + 4y + 3z = 0\]$

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