Uma empresa deseja construir com papelão uma embalagem cilíndrica, sem tampa, com volume de 1400πcm3 .

150 embalagem

\[V=\pi r^2h=1400\pi\Rightarrow hr^2=1400\Rightarrow h=\dfrac{1400}{r^2}\]

O custo total em função das dimensões da caixa é dado por:

\[C=0,7\cdot\pi r^2+0,5\cdot2\pi rh\]

Substituindo a expressão de
\(h\)
, temos:

\[C=0,7\pi r^2+\dfrac{1400\pi}r\]

Queremos minimizar o custo, então vamos zerar a derivada:

\[C'(r)=0=1,4\pi r-\dfrac{1400\pi}{r^2}\Rightarrow r^3=1000\Rightarrow r=10\ cm\]

Temos a expressão do custo somente em função de
\(r\)
:

\[C(10)=0,7\pi\cdot10+\dfrac{1400\pi}{10}\Rightarrow \boxed{C=147\pi\ reais}\]

A quantidade de papelão do fundo é:

\[Q_f=\pi r^2\Rightarrow\boxed{Q_f=100\pi\ cm^2}\]

E para a lateral:

\[Q_l=2\pi rh\Rightarrow\boxed{Q_l=280\pi\ cm^2}\]